1072 
Wanneer  t tot  de  ster  [.!/]  behoort,  zullen  de  doorgangen  Pen  Q , 
twee  projectieve  velden  vormen.  Daar  dan  ook  P'  en  Q'  in  projec- 
tieve velden  overeenkomen,  vindt  men  als  beeld  van  de  stee  een  j 
congruentie  (3,1).  | 
Van  de  drie  stralen,  welke  deze  congruentie  door  een  willekeurig  j 
punt  zendt,  zijn  er  twee  in  de  involutie  {tg')  aan  elkaar  toegevoegd, 
terwijl  de  derde  een  dubbelstraal  is  (§  1).  De  straal  t' , dien  zij  in  : 
een  willekeurig  vlak  g legt,  is  het  beeld  van  den  straal  t welken  j 
de  aan  g toegevoegde  (1,1)  door  M zendt. 
Daar  de  ster  [ili]  den  waaier  bevat,  waarvan  de  stralen  op  de 
rechte  c rusten,  behoort  de  i-egelschaar  (c)’  tot  het  beeld  f3,1)  der 
ster. 
De  ster  \_M]  bevat  een  waaier  van  stralen  t,  die  op  rusten. 
Deze  bepaalt  op  den  doorgang  m van  het  vlak  {Mcd)  met  « een 
puntenreeks  {F).  Het  homologe  punt  P'  bepaalt  met  het  aan 
toegewezen  punt  C telkens  een  straal  4.  Elke  waaier  [to)  met  top  i 
C bevat  dus  één  straal,  die  overeenkomt  met  een  tot  [ü/]  behoorenden 
straal  van  den  axialen  complex  c^j.  Maar  ook  de  rechte  c behoort  | 
tot  de  congruentie  (3,1),  daar  zij  het  beeld  is  van  de  transversaal 
door  M over  Ca  en  Cji.  De  beelden  ta  der  stralen  van  den  waaier 
in  [Mc^}  omhullen  dus  een  kegelsnede.  Hieruit  blijkt,  dat  n en  {t 
tot  de  singuliere  vlakken  der  congruentie  (3,1)  behooren anders 
gezegd,  a en  g zijn  osculatievlakken  der  kubische  ruimtekromme,  ' 
waarvan  de  assen  (doorsneden  van  twee  osculatievlakken)  de  (3,1) 
vormen. 
5.  De  stralen  t,  die  op  de  rechten  r/,  en  c/,  en  tevens  op  rusten, 
vormen  een  quadratische  regelschaar ; hun  doorgangen  P liggen  dus 
op  een  kegelsnede  d’.  De  overeenkomstige  punten  P'  vormen  op 
een  kegelstiede  d'*  een  puntenreeks,  die  projectief  is  met  de  reeks  i 
der  punten  6(3,  dus  ook  met  de  reeks  der  punten  C.  Derhalve  om- 
hult de  straal  t'  een  kromme  der  derde  klasse.  Door  een  punt  N' 
van  « gaan  nu  vier  rechten  t' , die  de  beelden  zijn  van  stralen  t 
der  bilineaire  congruentie  met  richtlijnen  t/,,  (/,,  n.1.  drie  stralen 
U.  en  bovendien  de  straal,  die  toegevoegd  is  aan  den  straal,  welken 
het  punt  N naar  de  (1,1)  zendt. 
De  bilineaire  congruentie,  welke  het  sti-alenveld  [pj  afbeeldt,  heeft 
twee  stralen  gemeen  met  de  bo\en  bedoelde  (1,1);  het  beeld  der 
laatste  heeft  dus  twee  stralen  in  het  vlak  g.  Bijgevolg  wordt  een- 
bilineaire  congruentie  afgebeeld  door  een  congruentie  (4,2). 
Deze  heeft  n en  d tot  singuliere  vlakken  van  de  derde  klasse. 
De  stralen,  welke  de  (4,2)  door  een  punt  M zendt,  zijn  de  beelden 
