1075 
2.  De  stralen  t'  toegevoegd  aan  de  stralen  der  ster  [üj  vonnen 
een  complex.  Om  den  graad  van  dien  complex  te  kunnen  bepalen, 
beschouw  ik  een  waaier  van  stralen  t' , met  top  T,  waarvan  het 
vlak  T met  het  vlak  (c  de  recdite  p gemeen  heeft.  De  welke  ee)i 
dier  stralen  t'  tot  bisecante  heeft,  wordt  uit  in  de  kegelsnede  (<" 
geprojecteerd;  deze  bepaalt  op  de  met  //  liomologe  rechte  p twee 
punten  f**,  die  aan  den  doorgang  B'  van  t'  worden  toegevoegd  en 
tevens  aan  het  met  P'  homologe  punt  P.  Omgekeerd  zal  een  punt 
P*  van  p,  door  middel  van  de  rechte  B^P^,  een  kegel  (/li)’,  dus 
een  kegelsnede  cd  bepalen,  en  de  homologe  kegelsnede  a'“  levert  op 
p'  twee  punten  P' \ de  overeenkomstige  punten  P worden  aan  P* 
toegewezen.  Daar  P*  viermaal  met  P samenvalt,  bevat  de  waaier 
{T,r)  vier  stralen  ieder  toegevoegd  aan  een  singidieren  straal  .v,. 
Met  elke  der  vijf  sterren  [5*]  komt  dus  een  complex  van  den 
vierden  grand  overeen.  De  complexkromme  in  liet  vlak  p heeft  den 
doorgang  p'  tot  dubbelraaklijn.  Immers,  de  kromme  f,  welke 
p'  tot  koorde  heeft,  wordt  uit  Bi  in  een  kegelsnede  cc"  geprojecteerd, 
en  de  snijpunten  van  cc’  met  de  rechte  /j  bepalen  twee  stralen 
die  ieder  aan  p zijn  toegewezen. 
Aan  een  singidieren  straal  s.^  - BJ^'  is  een  kegel  (/'*)’ van  stralen 
i toegevoegd,  die  o.a.  door  Ö,  gaat,  dus  de  ribbe  gemeen  beeft 
met  den  door  s^ee^-Bf^  bepaalden  kegel  [Bf.  Elke  straal  ,v.,  beboort 
dus  tot  den  complex  \t'\d,  die  met  de  ster  [i;?,]  overeenstemt.  Die 
complex  beeft  m.  a.  vv.  de  vier  hoofdpunten  BjcikT^f- 
Ligt  1^'  op  de  doorsnede  p\^^  van  cc,  dus  P op  de 
daarmee  liomologe  rechte  p^^^,  dan  is  aan  den  singulieren  straal  Z?, 
de  waaier  [P',  toegevoegd,  die  dan  bestanddeel  is  van  den  kegel 
(P'y.  De  vlakken  dkim  {k, /,  ni  ^ zijn  dus  hoofdvlakken  van  den 
complex  \t'\\ 
Ook  ((  is  hoofdvlak.  Immers,  de  in  u gelegen  straal  t'y.  is  bisecante 
van  een  f,  en  deze  wordt  uit  B^  in  een  cc’  geprojecteerd,  die  den 
bomologen  straal  4 in  twee  punten  P ontmoet,  waarvoor  bet  [lunt 
P'  op  is  gelegen. 
Dat  i?,  geen  boofdpunt  is,  blijkt  aldus.  De  kegels  {Bf  vormen 
een  bundel  en  snijden  dus  cc  volgens  een  bundel  (cc").  Deze  is 
projectief  met  den  homologen  bundel  (cc'"),  en  de  beide  bundels 
brengen  een  figuur  van  den  vierden  graad  voort.  Daar  twee  over- 
eenkomstige kegelsneden  elkaar  op  a snijden,  bestaat  die  figuur  uit 
de  recbte  u en  een  kubische  kromme,  welke  invariant  is  t.o.v.  de 
homologie  [«].  Elke  twee  punten  P,  P'  van  die  kromme  leveren 
twee  aan  elkaar  toegevoegde  singuliere  stralen  ^ terwijl  de  punten 
der  as  a een  waaier  van  dubbelstraien  door  iöi  leveren.  De  complex- 
