1078 
dus  vier  stralen  van  den  complex  De  sinyaliere  stralen  s zijn 
dus  toegevoegd  dan  de  stralen  van  een  complex  van  den  vierden  graad 
De/.e  com|)lex  lieeft  de  punten  Bk  tot  hoofdpunten  en  liet  vlak  « 
tot  hoofdvlak-,  elke  rechte  tot.  is  ribbe  van  twee  kegels  {t'Y , behoort 
dus  tweemaal  tot  den  complex. 
De  congruentie  [.9]  heeft  singuliere  punten  van  de  tweede  orde  in 
A en  in  elk  punt  der  rechte  a.  De  ribben  van  eiken  dier  kegels 
zijn  aan  elkaar  toegevoegd,  en  tevens  dnbbelstralen  der  involutie; 
die  kegels  behooren  blijkbaar  ook  tot  den  complex  De  ribben 
der  kegels,  waarvan  de  toppen  op  a liggen,  zijn  tot  een  congruentie 
(4,2j  vereenigd. 
Elke  straal  tot  \'ertegen woordigt  twee  stralen  s-,  immers,  zijn  F' 
en  Pf  de  punten,  welke  ty,  gemeen  heeft  met  de  kromme  /i’  waar- 
van ty  koorde  is,  dan  is  4 singuliere  straal  voor  elk  der  homologe 
punten  P en  P^.  Zal  een  straal  s in  « liggen,  zonder  door  A te 
gaan,^  dan  moet  hij  de  punten  P”  en  P'"  bevatten,  waar  de  door 
P'  gelegde  f het  vlak  weer  ontmoet.  Als  P'  den  door  ^ getrokken 
straal  m doorloopt,  zal  P' ^ P"  P"’  om  ee)i  punt  i/ wentelen ; want 
de  groepen  , P",  P'")  vormen  pooldriehoeken  t.o.v.  een  bepaalde 
kegelsnede.  De  waaier  ip')  is  blijkbaar  projectief  met  de  op  gelegen 
puntenreeks  (P) ; dus  zal  p'  tweemaal  door  het  overeenkomstige 
punt  P gaan  en  dan  een  straal  s zijn.  Bijgevolg  is  n een  singulier 
vlak  van  de  vierde  orde  voor  de  congruentie  [.9].  Daar  een  punt  van 
a bovendien  een  niet  in  n gelegen  straal  .9  draagt,  is  de  stergraad 
(orde)  van  |.9|  gelijk  aan  vijf. 
Om  den  veklgraad  (de  klasse)  van  [.9]  te  kunnen  bepalen,  neem 
ik  een  vlak  p aan.  Zij  Peen  punt  van  de  rechte  p = up ; de  krommen 
f,  die  de  stralen  t van  den  waaier  (P,p)  tweemaal  snijden,  vormen 
hel  in  \ 4 beschouwde  oppervlak  •t>\  bepalen  dus  op  de  rechte  p' 
vijf  |)unten  Q' , en  daardoor  op  p de  homologe  punten  Q,  die  aan 
P worden  loegevoegd.  Omgekeerd  levert  een  punt  Q een  punt  Q' 
en  de  door  Q'  gelegde  kromme  f snijdt  p in  drie  punten,  bepaalt 
dus  in  p drie  koorden  t en  daardoor  drie  punten  P.  Telkens  als  Q 
met  P samenvalt,  gaat  door  P een  singuliere  straal  s,  waarvoor  de 
overeenkomstige  kegel  ff  zijn  top  heeft  in  het  homologe  punt  P' . 
De  veldgraad  bedraagt  derhalve  acht.  De  singuliere  stralen  s vormen 
een  co‘)igruentie  (5,8). 
De  punten  Bk  zijn  singulier  voor  l.s'J.  Dit  blijkt  als  men  de  stralen 
.9  beschouwt,  die  tot  een  waaier  (P/^.p)  behooren;  zij  /;  de  doorsnede 
van  p met  a,  P een  punt  van  p.  De  krommen  /P,  die  P^P snijden, 
worden  uit  Bk  geprojecteerd  in  de  kegelsnede  o-,  en  deze  bepaalt 
op  p'  twee  punten  (f , die  aan  P'  worden  toegevoegd.  Dmgekeeitl 
