1079 
snijdt  de  dooi-  Q'  gelegde  p(*  liet  vlak  fi  nog  in  twee  punten,  bepaalt 
dus  twee  punten  P en  daardoor  tevens  twee  punten  P' . Daar  Q' 
blijkbaar  viermaal  met  P'  samenvalt,  bevat  de  waaier  vier 
stralen  s.  Dus  is  Bk  een  singulie)-  punt  van  de  vierde  orde  voor  de 
congruentie  [6\|. 
6.  De  tien  rechten  bki=^  Bk  Bi  zijn  /ioo/e/ó-zm/c// voor  de  involutie 
Immers  hu  is  bisecante  van  alle  krommen  /i",  dns  foegevoegd 
aan  alle  bisecanten  door  het  punt  P'u,  dat  homoloog  is  met  den 
doorgang  Pu  van  hy  ■ Aan  den  lioo  fdstraal  hi-i  u.wrdt  (In.s  de  ster 
[Pfc/]  toegeieezen. 
Een  waaier  {T,r)  bevat  tien  stralen  t,  die  ieder  rusten  op  een 
rechte  hu  en  op  een  daaraan  gekoppelde  kegelsnede  De  over- 
eenkomstige straal  t'  rust  dan  ook  op  hki . 
Verder  behooren  vier  stralen  t tot  den  complex  \tYk,  welke  in  de 
involutie  {t,t')  is  toegevoegd  aan  de  ster  [ B]^.  Dus  heeft  het  beeld 
van  den  waaier  [t]  viervoudige  punten  in  Bk  en  in  Bi,  zoodat  op 
hu  negen  stralen  t'  rusten.  Een  waaier  wordt  dus  omgezet  in  een 
reqelschaar  van  den  negenden  graad.  De  waaier  bevat  acht  stralen 
van  den  complex  ^ ''  liggen  dus  acht  stralen  4 van  het 
regelvlak  (O".  Bovendien  bevat  a de  rechte  p' , die  homoloog'  is  met 
den  doorgang  p van  het  \lak  t,  en  richtlijn  van  het  regelvlak. 
7.  Een  ster,  met  top  M,  wordt  afgebeeld  door  een  stralencon- 
gruentie  [i'j.  Zij  N een  willekeurig  punt,  n de  bisecante  door  iV 
naar  de  kromme  /l’,  welke  de  rechte  MP  tweemaal  snijdt.  De  door- 
gang Q van  u komt  in  een  birationale  verwantschap  o\'ereen  met 
het  punt  P' , dat  door  de  homologie  aan  P is  toegevoegd. 
Als  Q zich  langs  de  rechte  q verplaatst,  zoodat  u een  waaier 
beschrijft,  dan  vormen  4)  de  bisecanten  / der  overeenkomstige 
krommen  (i'*  een  complex  De  complexkegel  van  M snijdt  o volgens 
een  kromme  en  de  daarmee  homologe  kromme  o'®  bevat  de  punten 
P' , die  aan  de  punten  Q van  q zijn  toegevoegd.  De  verwantschap 
tusschen  Q en  P'  is  dns  van  den  vijfden  graad ; bijgevolg  zal  O 
zevenmaal  met  P'  samenvallen.  Door  N gaan  derhalve  stralen 
t'  van  het  beeld  der  ster  [i/J. 
De  ster  heeft  met  haar  beeld  den  straal  MA  en  de  sti-alen  van 
den  waaier  {M,a)  gemeen  ; dus  is  M een  singulier  punt  van  het  beeld. 
Zij  p een  vlak,  dat  a ‘volgens  de  rechte  p'  snijdt.  De  krommen 
/i®,  welke  de  stralen  van  den  waaier  {P',n)  tot  bisecanten  hebben, 
brengen  vijf  van  hun  bisecanten  t in  het  vlak  {Mp),  en  deze  bepalen 
op  p vijf  punten  Q,  welke  aan  het  punt  P worden  toegevoegd. 
