Wiskunde.  - De  Heer  Bhouwer  biedt  een  mededeeling  aan  van 
den  Heer  Prof.  .1.  Wolff:  ,,Over  de  quasi-wiiforme  converqentie!' 
(Mede  aangeboden  door  den  Heer  L C.  Kluyver). 
HOOFDSTUK  1. 
Wij  besclionwen  in  een  interval  a<x<b  een  convergente  i'eeks 
van  continue  functies  f{x)  = . 
Arzei.a  heeft  aangeloond  dat  de  noodige  en  voldoende  voorwaarde 
voor  de  continuiteit  van  f{x)  de  ,,quasi-nniforme  convergentie’'  der 
reeks  is. ')  Hieronder  wordt  verstaan  dat  als  men  twee  positieve 
getallen  kiest  e en  iSf,  het  eerste  zoo  klein  als  men  wil,  het  tweede 
zoo  groot  als  men  wil,  er  een  getal  N'  N bestaat  zoodanig  dat 
men  voor  iedere  x van  het  interval  een  tnsschen  N en  N'  gelegen 
aantal  termen  iix  der  reeks  kan  bepalen,  waarvan  de  som  Sn  (.c) 
minder  dan  t van  f{x)  afwijkt. 
Hoewel  dit  theorema  een  volledige  oplossing  geeft  van  het  vraag- 
stuk ; de  gewone  uniforme  convergentie  te  vervangen  door  iets 
anders,  dat  niet  alleen  voldoende,  maar  ook  noodig  is  voor  de  con- 
tinuiteit van  /(.r),  laat  de  quasi-uniforme  convergentie  zich  nog  ver- 
vangen door  een  ruimere  voorwaarde,  waardoor  we  een  kleine 
uitbreiding  krijgen  van  Arzet.a’s  stelling.  Wij  zullen  namelijk  het 
volgende  bewijzen  : 
1.  H/.v  de  reeks  quasi-ninfono  convergent  is  oj)  een  pnntverzame- 
ling  E,  die  overal  dicht  is  in  het  interval  a<  x </n  dan  is  f{x) 
continu  in  dat  interval. 
Bij  iedere  6 en  iedere  N bestaat  er  volgens  deze  onderstelling  een 
getal  iV'j>  A',  zoodanig  dat  men  voor  iedere  x van  E een  tusschen 
i\  en  N'  gelegen  index  Ux  kan  bepalen,  waarvoor  \f{x) — A',,  (,'c)  is. 
Wij  kiezen  een  willekeurig  punt  x van  het  interval.  Wegens  de 
convergentie  der  reeks  kan  men  een  getal  N vinden  zoodat,  als  £ 
een  willekeurig  positief  getal  is : 
/(.i;)  — DO  , < 4- voor  n'y  N . . . . (1) 
b Mem.  R.  Acc.  Bologna  1899. 
Borf.l,  Lecons' sur  les  Fnnctinns  de  variables  réelles. 
