1 ( )Hy 
Voor  iedere  n lusselieii  N eii  liet  acaii  \e,N  loegevoegde  getal 
N'  kan  men  nu  een  interval  (a-  — ö,  a- + d)  bepalen,  zoodat  voor 
ieder  punt  § daarbinnen  de  ongelijkheid 
[<i6 (2) 
bestaat,  wegens  de  continuiteit  van  Sn  (.r).  Wegens  de  eindigheid 
van  het  aantal  van  deze  indices  n,  bestaat  er  een  interval  I met 
tot  middelpunt,  zoodat  voor  § binnen  / aan  (2)  \’oldaan  is,  en 
wèl  voor  iedere  n tusschen  iV  en  N' . Is  derhalve  i een  binnen  / 
gelegen  punt  van  E,  dan  is,  als  we  voor  n den  bij  behoorenden 
index  n:  kiezen,  vooreerst  voldaan  aan  (1)  en  (2),  verder  aan 
SnA^)-f{è)  ' (3) 
Uit  (I),  (2)  en  (3)  volgt  dat 
: /(^O  — /(^)  < e* 
Men  heeft  dus  /{x)  = lim/{§),  waarin  ^ de  dichte  verzameling 
Ï —^x 
E doorloopt.  Is  ,r'  een  punt  van  l,  dat  niet  tot  E behoort,  dan  is 
I f{x)  —fix')  I = lim  \ f U’)  — ƒ (t)  I < f. 
Hiermee  is  de  continuiteit  van  f{x)  be^vezen. 
2.  In  verband  met  de  stelling  van  Arzei,.\  blijkt  nu  dat  de  quasi- 
uniforme  convergentie  op  een  verzameling  E die  dicht  is  in  a<w</) 
de  quasi-nniforme  convergentie  op  het  heele  interval  tengevolge 
heeft. 
3.  Uit  het  voorgaande  laat  zich  gemakkelijk  atleiden,  dat  de 
quasi-nniforme  convergentie  in  Arzela’s  stelling  kan  vervangen  worden 
door  het  volgende;  ,,bij  iedere  e,  N bestaat  een  W' j>  jV,  benevens 
een  puntverzameling  B{e,N),  behoorende  tot  de  eerste  categorie  van 
Baire,  zoodat  men' voor  iedere  x van  het  interved,  die  niet  iot  B {s,  N) 
behoort,  een  tusschen  N en  N'  gelegen  index  Ux  kan  bepalen,  waar- 
voor f {x)  — Sn  \x)  8 is.”  Om  dit  in  te  zien,  nemen  we  voor- 
loopig  een  vaste  A^en  een  afnemende  rij  positieve  getallen  ..., 
I met  nul  tot  limiet.  Bij  sk  mogen  jV'{ek,  JSl)  en  B {ejc,  JSI)  de  genoemde 
beteekenis  hebben.  Daar  B{€jc,EF)  bestaat  uit  een  aftelbare  verzame- 
ling van  nergens  dichte  puntverzamelingen,  geldt  dit  eveneens  voor 
de  verzameling  B (s,,  N)  -f-  B (p,,  xV)  -^  . . . . = A {N),  zoodat  B (iV) 
ook  tot  de  eerste  categorie  van  Baire  behoort.  Kiezen  we  nu  een 
toenemende  rij  getallen  N iV,  . . . , met  oneindig  tot  limiet,  en 
stellen  we  B (Pj,  ISfi)  -f-  B (p^,  Ni)  d\-  . . . = B {Ni),  dan  behoort  ook 
de  verzameling  7?(A,) -j- . . . = fi  tot  die  categorie,  zoodat 
71 
Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVll.  1918  19. 
