I 100 
haar  complementaire  verzameling  C{B)  overal  dicht  is.  GeefiiU6,.V 
willekeurig.  Zij  e'^ek  en  N Ni.  Alle  punten  van  C{B)  liggen 
buiten  B{fk,  zoodat  voor  ieder  punt  van  C{B)  tusschen  N^i  en 
N'  {Bk,  een  index  bepaald  kan  worden  tix,  waarvoor 
I < f 
is.  Hiermede  is  het  bewijs  geleverd,  daar  C{B)  overal  dicht  is,  zoo-  1 
dat  de  stelling  van  § 1 kan  worden  toegepast.  j 
4.  Ook  krijgen  we  een  voldoende  voorwaarde  als  we  in  het  j 
voorafgaande  in  plaats  van  B {b,  ]N)  zetten : een  verzameling  van 
de  maat  nul.  Want  een  verzameling  die  uit  een  aftelbaar  aantal 
van  zulke  verzamelingen  bestaat,  heeft  de  maat  nul,  zoodat  haar 
complementaire  verzameling  overal  dicht  is,  waardoor  bovenstaande 
redeneering  weer  kan  worden  toegepast.  Hieruit  volgt  nog  in  ’t 
bijzonder ; een  convergente  reeks  van  continue  functies  stelt  een  continue 
functie  voor  als  de  convergentie  „bijna  overal”  quasi-uniform  is. 
I 
HOOFDSTUK  II.  I 
j 
5.  In  § I hebben  we  gebruik  gemaakt  van  de  converge^itie  der  I 
reeks  in  het  willekeurig  gekozen  punt  x,  ook  als  dit  punt  niet  tot 
de  dichte  verzameling  Ë behoort.  Het  is  de  vraag  of  het  noodig  is, 
de  convergentie  der  reeks  in  het  geheele  interval  te  onderstellen.  ! 
Convergeert  een  reeks  van  functies,  die  continu  zijn  in  het  interval  j 
a<x<l),  uniform  op  eeu  verzameling  E,  die  overal  dicht  is  in  dat  j 
interval,  dan  volgt  daaruit  haar  uniforme  convergentie  in  het  heele  \ 
interval.  Naar  analogie  hiervan  komen  we  tot  de  volgende  vraag: 
als  de  termen  van  een  reeks  continue  functies  van  x zijn  in  het  j 
interval  a<x<b,  en  de  reeks  is  quasi-uniform  convergent  op  een  j 
verzameling  E,  die  in  dat  interval  overal  dicht  is,  kan  men  dan  1 
besluiten  - tot  de  convergentie  van  de  reeks  in  het  heele  interval,  en  | 
daarmee  tot  de  contiuuiteit  van  de  functie  door  de  reeks  voorgesteld 
en  dus  tot  de  quasi-uniformiteit  der  convergentie  in  a < x < b?  | 
Het  antwoord  luidt  ontkennend.  Wij  beschouwen  daartoe  de  j 
volgende  reeks : | 
ƒ (.r)  =:  X — ■ ■ ■ + .v"  — . I 
Deze  reeks  convergeert  quasi-uniform  tot  nul  in  het  open  interval  j 
dat  een  overal  dichte  verzameling  vormt  in  het  gesloten  | 
interval  De  convergentie  is  quasi-uniform  omdat  de  som  j 
van  een  even  aantal  termen  steeds  nul  is.  Voor  x=\  is  de  reeks  j 
echter  niet  convergent. 
