1 101 
6.  Bij  (lil  voorbeeld  nadert  /(.r)  voor  .r  = 1 tot  een  grenswaarde 
ƒ(! — 0)  = 0.  Dat  dit  niet  een  gevolg  belioeft  te  zijn  van  de  quasi- 
unit'orine  convergentie  in  het  interval  0 < .v  <j  1 leert  het  volgende 
voorbeeld ; 
Laat  y = f{x)  worden  voorgesteld  door  de  zigzaglijn 
waarbij  A^,  A^,  A^,  ...  de  punten  zijn  niet  ,i;  z=z  1,  . en  y = 0, 
Sj,  ös,  . . . de  punten  met  x = t>  l>  A-  • • • • en  y = I . Kies  op 
de  y-SLS  een  aftelbare  puntverzameling  /\,  F^,  P^,  ■ ■ ■ die  in  het 
interval  (0,1)  overal  dicht  is.  De  functie  y = S,,  (.r)  moge  door  de 
volgende  kromme  worden  vooi'gesteld : van  rechts  naar  links  eerst 
de  zigzaglijn  A^  A^  B^  . . . . A„  Bn,  daarna  het  stnk  van 
tot  het  snijpunt  C,,  met  de  lijn  y = y^,  daarna  de  lijn  Cn  P„. 
Blijkbaar  i§  aS,,  (.rj  continu  in  het  interval  0<a’<l.  Tevens  is 
Hm  aS„  (x)  = /' (a’)  voor  Ü<j,r<l,  omdat  van  af  zekere  » voor  een 
)i  — » oo 
zoodanig  gelegen  punt  S,,  (.r)  met  fUr)  samenvalt.  Dus  convergeert 
de  reeks  S,  (.c)  -f  j S,  (x)  — S,  (ajj  ^ \Sn  (x)  — S,,  i (a)|  + . . . . 
in  het  interval  0 <(  ,r  < 1 tot  /(.r),  tei  wijl  alle  termen  continu  zijn 
in  0<r<l.  Deze  convergentie  H qwt.H-nniforni. 
Om  dat  in  te  zien,  kiezen  we  f en  i\'  willekeuiig.  Daar  de  ver- 
zameling {Pi)  overal  dicht  is  in  (0,1),  kunnen  we  een  eindig  aantal 
punten  P„^,  P„^,  ....  tnsschen  0 en  1 kiezen,  waarvan  de  rang- 
nummers j>  N zijn  en  die  dat  interval  in  Ic  1 stukken  verdeelen, 
allen  <(  s.  Zij  nu  x een  willekeurige  tnsschen  0 en  1 gelegen  waarde. 
Valt  f{x)  met  één  der  k waarden  S„.{x)  samen,  dan  is 
ƒ (.r)  - .s;,,  (.r)  I = 0 < e. 
Valt  f{x)  met  geen  van  die  waarden  samen,  dan  is 
Sn.[x)  = y^  , 1 = 1,2 k. 
Daar  0<  /’(.'r):^l,  voldoet  één  van  die  /r  indices  aan 
f{x)  — Sn.  (.r)  < f. 
Hiermede  is  de  quasi-uniforrniteit  der  convergentie  voor  het  interval 
0 .r  < 1 aangetoond.  f{x)  neemt  echter  geen  grens\vaarde  in  0 aan  : 
zij  schommelt  daar  tnsschen  nul  en  1. 
HOOFDSTUK  lil. 
7.  Laten  /i{x),  f{x),  . . . continue  functies  zijn  in  het  interval 
a<  x<h  en  laat  de  reeks 
/(^’)  =/i  ('0  + /.  (^)  f 
quasi-uniform  convergent  zijn  in  het  interval  u <((  a;  < é. 
f{x)  is  dan  continu  in  dit  open  interval.  Laten  .1/  en  m voor- 
71* 
