1102 
stellen  liet  inaxirmmi  en  het  miniinnin  van  /{.v)  in  a,  en  laat  een 
willekeurig  getal  van  het  interval  at  < fi  < ilf  zijn.  Er  is  een  pimt- 
verzameling  .Tj,  .r,,  . . . . .i'v,  . . . te  construeeren  met  livi  a\  = a en 
V—»» 
Hm  f{Xy)  = fi.  Uit  een  beperkt  aantal  indices  kan  men  voor  ieder 
punt  van  deze  verzameling  er  een  kiezen  zoodat  15)1  (.1%) — 
is,  waarin  t,  een  willekeurig  positief  getal  is.  Er  zijn  derhalve 
oneindig  veel  punten  ,r,,  waar  men  één  en  denzelfden  index  gebruiken 
kan,  dezen  noemen  we  n^.  Nadert  x-,  tot  a,  dan  nadert  5,,, (^Cv)  tot 
Sn^{a)  en  /(a’„)  tot  p,  dus  Zij  • een  af- 
nemende rij  van  positieve  getallen  met  nul  tot  limiet.  Boven  n,  kan 
men  weer  uit  een  beperkt  aantal  indices  voor  iedere  X;  een  keuze 
/iv  doen  waarbij  (.r.,) — f{x.j)\  f,,  dus  er  is  een  index 
zoodat  ' S„^{a)—^\  < f,. 
Zoo  voortgaande  zien  we  dat  er  een  partieele  functierij  5„j  U'), 
5„2(.r),  ■ ■ . bestaat,  die  in  a convergeert  tot  de  waarde  p.  Voor 
a<^x<b  convergeert  ze  tot /(.r).  Hieruit  volgt: 
Bestaat  de  reehs  f\  (,i’)  [x]  -j-  ■ . • ait  termen  die  in  a < x < b 
contmu  zijn,  terwijl  ze  in  a <Jx  < b quasi-uni/orm  convergeert  tot 
f [x)  en  is  p een  willekeurige  waarde  gelegen  tusschen  het  maximum 
en  het  minimum  van  f{x)  in  a,  dan  kan  men  de  reeks,  door  groepen 
van  termen  tot  één  nieuwe  term  samen  te  vatten,  transformeeren  in 
een  reeks  die  in  a < x < b convergeert,  in  a tot  p,  in  de  andere  punten 
tot  f{x). 
Bij  het  voorbeeld  van  § 5 heeft  men  M = m = 0.  De  reeks 
(a’ — x)  -j-  — a’)  . is  hier  een  getransformeerde  reeks,  die  overal 
tot  nul  convergeert. 
Bij  het  voorbeeld  van  § 6 is  M = I , m = 0.  Kies  een  verzameling 
, P„^,...  met  p tot  limiet.  De  partieele  rij  S„,{x),  S„^{x),  . . . 
convergeert  voor  0 .a  < 1 tot  /{x),  in  0 tot  p. 
Dat  de  quasi-uniformiteit  der  convergentie  in  het  open  interval 
geen  overbodige  eisch  is,  zien  we  aan  de  reeks  1 — a-j-a’ — .r‘-|-  . . ., 
die  voor  0 < x <'  1 voorstelt  , zoodat  men  voor  x = 1 heeft 
^ 1+x 
M=m=\.  Geen  enkele  groepeering  der  termen  van  de  reeks 
1 — 1-|-1 — 1-f-  • • • doet  deze  echter  in  een  reeks  overgaan,  die  tot 
t zou  convergeeren. 
8.  De  stelling  van  de  vorige  § laat  zich  als  volgt  omkeeren : 
Gegeven  een  functierij  5,  (a),  5,  (a),  . . . . , alle  zijn  continu  in 
a<x<b.  De  rij  moge  convergeeren  in  a<j^x<b  tot  een  functie  f {x). 
