1 103 
die  daar  continu  is.  Zij  M het  niaxinnun  van  f{x)  in  a,  m het 
niinirnurn.  Kan  men  nu  aan  ieder  tusschen  m en  M gelegen  getal  k 
een  deelrij  van  de  gegeven  rj  toevoegen,  die  in  a tot  k convergeert, 
dan  is  de  convergentie  der  gegeven  rij  quasi-uniform  in  a <k_  < b. 
Om  dat  te  bewijzen,  geven  we  b,N.  We  kiezen  op  de  lijn  x = a 
de  punten  P,,  Pj, . . . , F.,  zoodanig,  dat 
n < < P.  < P,  . . . . < P.  -1  < MCF. 
en  tevens 
P,  P,_pi<8  , i = 1, r - I. 
Uit  de  onderstelling  volgt,  dat  er  een  index  nij>N  bestaat  waar- 
voor Sn.{.a)  tusschen  P,-  en  P,-(_i  ligt.  Zoo  vinden  we  r indices. 
Daar  de  functies  '■) . . .AS'»;_^(a’)  continu  zijn  in  a,  kan  men 
een  getal  d,  vinden  zoodanig  dat  voor  ,r — tusschen 
P,-  en  Pj-fi  ligt,  /=:0,  l,...n  — 1.  Ook  kan  men  een  getal  d,  vinden 
zoodat  voor  x — a <k_  f {x)  tusschen  P„  en  F-,  ligt,  want  M en  m 
zijn  het  maximum  en  het  minimum  van  /{x)  in  a.  Zij  d < d^  en 
d<  (fj.  Voor  X — a<ki(f  behoort  f{x)  tot  een  der  intervallen  Pi' P,_pi 
(of  ligt  op  den  rand  daarvan).  Dus  voor  iedere  .r  van  ’t  interval 
a X <j  a (f  kan  men  uit  de  y gevonden  indices  een  keuze  n^ 
doen,  om  te  zorgen  dat  /’(r)  — SnA^t)  <^e.  Evenzoo  kan  men  uit 
een  eindig  aantal  boven  /V  gelegen  indices  voor  een 
dergelijke  keuze  doen,  daar  de  gegeven  rij  in  dat  interval  quasi- 
uniform  convergeert  wegens  de  continuiteit  van  f(x).  Hiermede  is 
de  stelling  bewezen. 
Het  is  duidelijk,  dat  men  in  deze  stelling  de  woorden  „aan  ieder 
tusschen  m en  M gelegen  getal  k”  mag  vervangen  door  „aan  ieder 
getal  k van  een  verzameling,  die  in  het  interval  m,  M overal  dicht  is." 
