1 149 
bepalen  en  de  gegeven  /«’  getallen  van  de  IV  van  liel  eerste  interval 
bestaan  dus  n — 1 betrekkingen.  Deze  beperken  de  IF  naast  de  voor- 
waaj-den,  die  reeds  door  (J)  worden  opgeleverd. 
In  een  bijzonder  geval  is  het  niogelijk  een  vergelijking  aan  te 
geven  die  'in  staat  stelt  te  berekenen  uit  If  (w,, /i,, />') 
en  14^  ?t,,  p")  indien  p = p' p" . Dit  zal  namelijk  het  geval  zijn 
indien  de  kans  dat  yi,  op  volgt  na  een  interval  p"  niet  afhangt 
van  het  feit  dat  een  interval  p'  te  voien  door  een  waarde  is 
vooraf  gegaan.  In  dit  geval  geldt  gelijk  men  onmiddellijk  inziet  de 
betrekking : 
^ (”l1  P)  — ^ ) (^*11  P ) . . • • (^) 
waarbij  naar  alle  mogelijke  waarden  van  te  sommeeren  is.  Indien 
men  W (ry,,  yi/1  kent  is  in  dit  geval  IF  (yi;, /y,, /t)  te  berekenen. 
Voor  het  door  Smoluchovvski  behandelde  geval  der  emulsies  geldt 
deze  vergelijking,  gelijk  wij  hieronder  nadei-  zullen  zien,  niet. 
3.  Bij  de  toepassing  van  de  statistiek  van  reeksen  van  getallen  op 
phjsische  verschijnselen  doet  zich  de  belangrijke  vraag  naar  de 
omkeerbaarheid  voor.  P.  en  T.  Ehrbnfest  ‘)  zijn  de  eersten  geweest, 
die  op  de  omkeerbaarheid  eener  door  het  toeval  bepaalde  getallen 
reeks  hebben  gewezen  in  hun  belangrijke  beschouwingen  over  het 
H theorema  van  Bot.TZMANN.  Smoluchowski  heeft  de  omkeerbaarheid 
aangetoond  van  de  getallenreeks  die  door  intermitteerende  waar- 
neming van  het  aantal  emulsiedeeltjes  dat  in  een  bepaald  volume 
ligt  ontstaat. 
Wij  zullen  nu  algemeener  voor  een  getallenreeks  de  kenmerken 
van  de  omkeerbaarheid  onderzoeken.  Een  reeks  is  omkeerbaar, 
wanneer  hare  eigenschappen  bij  het  doorloopen  in  één  richting 
dezelfde  zijn  als  bij  het  doorloopen  in  de  tegengestelde  richting. 
Dit  legt  aan  W {n^,  yy,  p)  een  voorwaarde  op.  Definieeren  wij  W 
als  de  kans  dat  een  gegeven  getal  yy,  p intervallen  te  voren  door 
een  getal  yy,  is  voorafgegaan  dan  is  de  reeks  omkeerbaar  als:’) 
fF  («p  p)  “ IE  (»ip  «p  — p)  .....  (4) 
Wij  kunnen  nu  in  de  voorwaarde  (7)  een  kenmerk  voor  omkeer- 
baarheid afleiden  dat  slechts  gi-ootheden  die  op  het  interval  p in 
één  richting  betrekking  hebben,  bevat. 
b P.  en  T.  Ehrenfest.  Ueber  zwei  bekannte  Einwande  gegen  das  Boltzmann’scIic 
H theorem.  Phys.  Zeitschr.  6.  1907,  p.  311.  Verg.  ook  Enzyclop.  der  Matli.  wiss. 
Bd.  IV  en  11.  Heft  6,  p.  42. 
’)  De  beschouwde  reeks  is  omkeerbaar  voor  het  beschouwde  interval  p,  men 
kan  de  vraag  overwegen  of  een  reeks  voor  andere  intervallen  niet  omkeerbaar  is. 
74* 
