I 
4.  Wij  zullen  thans  eenige  loe[)assingen  van  hel  hierboven  be- 
S[)rokene  behandelen. 
Het  succes  van  de  beschonwingen  van  Smolucjiowski  heeft  ver- 
schillende schrijvers  (vergelijk  ^ J)  er  toe  gebracht  een  formule,  die 
bij  hem  voorkomt  als  het  kenmerk  voor  statistische  afhankelijkheid 
in  getallenreeksen  te  beschouwen.  Deze  betrekking  Inidt: 
L„  = {v-n)F  (7 
Hierin  is  het  verschil  \'an  een  bepaald  getal  7i  nit  de  reeks 
met  het  getal  dat  er  op  volgt,  gemiddeld  voor  alle  mogelijke  waar- 
den van  dit  verschil,  P een  constante  onafhankelijk  van  n,  die  bij 
Smoluchowski  de  beteekenis  van  een  kans  heeft,  mi  r de  gemiddelde 
waarde  van  de  getallen  van  de  reeks. 
Het  is  nn  niet  moeielijk  een  voorbeeld  van  een  getalleni-eeks  te 
construeeren,  waarin  statistische  afhankelijkheid  van  de  termen  van 
de  reeks  bestaal,  dat  wil  zeggen  de  functie  ITlni,  n^,  1)  is  aan  te 
geven,  terwijl  aan  de  betrekking  (6)  niet  is  voldaan.  Wij  hebben 
deze  reeks  geconstrueerd  door  nit  te  gaan  van  een  reeks  bestaande 
uit  de  getallen  O en  1,  elk  dezer  getallen  heeft  de  kans  en  er 
bestaat  geen  verband  tusschen  0|)volgende  getallen.  Laat  de  reeks 
nu  zijn  u,  ?/,,  . . .,  dan  beschouwen  wij  de  reeks  ii^,  2n,  . . . 
-j- -j- J , dat  wil  zeggen  een  reeks  bestaande  uit  de  getallen 
0,  1,  2 en  8.  Men  krijgt  gelijk  men  door  een  eenvoudige  berekening 
kan  aantoonen  de  volgende  waarden  voor  ]L(Ui,  n,,  1) ‘). 
w 
0 
1 
2 
3 
0 
'/2 
'/2 
0 
0 
1 
0 
0 
V2 
V2 
2 
V2 
V2 
0 
0 
3 
0 
0 
v, 
'/z 
j In  de  kolom  is  n,  in  de  rij  aangegeven. 
1 Past  men  nu  de  gevonden  IF  toe  om  de  lielrekking  (8)  te  toetsen, 
dan  blijkt  dat  voor  O,  1 2 3 en  4 de  P verschillend  is  nl.  ‘/s.  3. 
3 en  7i.  zoodat  wij  dus  inderdaad  een  voorbeeld  hebb  n van  statis- 
tische afhankelijkheid  waar  de  P betrekking  \'an  Smoijjkhowski  niet 
geldt.  Uit  de  wijze  waarop  de  reeks  is  opgebonwd  volgt  dat  zij  niet 
andere  richting  en  hetzelfde  interval.  Wanneer  een  reeks  omkeerbaar  is  voor  een 
interval  p en  tevens  de  vergelijking  (3)  geldt,  is  de  reeks  omkeerbaar  voor  een 
interval  np  (n  een  geheel  getal). 
')  Men  heeft  hierbij  fL(0)=  IKill  = ll'(2i=  )1^i3i  = -L,  > = 
