Wiskunde.  — De  Heer  Klüyvëh  biedt  eene  mededeeling  aan  van 
den  Heer  Dr.  J.  Droste:  ,,Over  integraalvergelijkingen,  die  in 
verba)i(l  staan  tot  differentiaalvergelijkingen.'’ 
(Mede  aangeboden  door  den  Heer  W.  Kapïeyn). 
§ 1.  Tiissclien  lineaire  integraalvergelijkingen  niet  symmetrische 
kern  eenerzijds  en  lineaire  differentiaalvergelijkingen  \'an  de  tweede 
orde  met  twee  lineaire  homogene  randvoorwaarden  in  (f>  en  “ 
dx 
anderzijds  bestaat  een  samenhang,  die  door  Hilbert  is  uiteengezet 
in  zijn  tweede  verhandeling  over  integraalvergelijkingen  (Gött.  Nachr. 
1904,  blz.  2J3  en  volg.).  Nemen  wij  bijv.  in  het  interval  (0,1)  de 
differentiaalvergelijking 
d^w 
+ (''/■= o,  . (1) 
waai-in  g een  constante  is,  dan  kan  men  het  probleem  stellen,  (p{x) 
zoo  te  bepalen,  dat  die  functie  aan  de  differentiaalvergelijking  vol- 
doet en  tevens  twee  randvoorwaarden  bevredigt.  Dit  kan  alleen 
voor  zekere  waarden  van  n,  de  zoogenaamde  karakteristieke  getallen. 
Kiest  men  nu  een  waarde  gj,  waarvoor  het  probleem  geen  oplossing 
heeft,  dan  kan  men  wel  een  functie  K{x,g)  vinden,  symmetrisch  in 
■X  eïi  y,  die  als  functie  van  .r  de  integraalvergelijking  bevredigt,  voor 
= y een  discontinuïteit  (een  eenvoudigen  sprong)  in  haar  afgeleide 
dK{x,y) 
heeft  en  aan  de  randvoorwaarden  voldoet.  De  karakteristieke 
Ox 
getallen  en  functies  van  de  kern  K{x,y)  (dat  zijn  de  getallen  g en 
de  functies  waarvoor 
(f{x)  = g (2) 
o 
is)  zijn  de  waarden  g en  de  functies  (pi^v)  die  het  gestelde  probleem 
der  differentiaalvergelijking  oplossen;  en  otngekeerd  leidt  het  rand- 
waardenvraagstuk tot  de  oplossing  van  de  homogene  integraalver- 
gelijking (2). 
Het  is  duidelijk,  dat  niet  alleen  kernen  van  de  beschouwde  soort, 
ul.  kernen  die  de  ditferentiaalvergelijking  bevredigen,  de  functies 
