1171 
tot  karakteristieke  functies  zullen  hebben.  Moeten  de  kern  en  de 
integraalvergelijking'  alleen  dienen  om  het  randwaardenvraagstuk  tot 
een  ander  vraagstuk  terug  te  brengen,  dan  is  het  ook  niet  noodig, 
andere  kernen  te  beschouwen.  Waiuieer  echter  de  integraalverge- 
lijking gegeven  is  kan  het  van  veel  nut  zijn  te  onderzoeketi  of  de 
kern  karakteristieke  functies  heeft,  die  oplossingen  zijn  van  (l)voor 
zekere  waarden  van  p.  Om  die  reden  schijnt  het  mij  vaii  belang 
algemeen  de  kernen  te  beschouwen,  welker  karakteristieke  functies 
aan  (1)  voldoen.  Dat  zeer  algemeene  klassen  van  kernen  oplossingen 
van  (1)  tot  karakteristieke  functies  hebben  blijkt  wel  nit  de  voor- 
beelden van  § 2 en  § 3 die  twee  willekeurige  functies  bevatten. 
§ 2.  Voor  0 ^ ,r  ^ 1 en  zal 
K{.v,y)  = F{x^y)  + <P{x-y) (2a) 
een  sjminetrische  functie  van  ,r  en  //  zijn,  indien  — y)  = — x) 
is.  De  functie  F{z)  moet  gedefinieerd  zijn  in  het  interval  (0,2)  en 
de  functie  in  ( — 1,  -|-  1).  Wij  onderstellen  van  F{z)  en  4>{z) 
nu  nog  de  eigenschap,  dat  voor  0 ^ s ^ 1 
/X.-fl)=F(e)  , <Hz—l)=<P{z).  ....  (3) 
Zijn  F(z)  en  </>{z')  in  het  interval  (0,1)  ontwikkelbaar  in  uniform 
con vergen te-i'eeksen  van  Fourier,  dan  zijn  deze  i'eeksen  van  den  vorm 
F(z)  — F ^ aj,  cos  {2jrkz~  ajc)  , (0  < <(  Jr) 
k=i 
ct>(z)  = F ^ 2nkz, 
/c=l 
daar  uit  </X— 2)  = '/'(2)  en  ^P(z — J)  = </'(^)  volgt 
CP(Z)=CP(\—Z). 
Men  heeft  dus 
K{x,y)  = a,  F 
X 
2 ai^[cos  (2jtkx  — ^ «0  cos  {27t.ky  — ^ «O  — 
k=\ 
— sin  (2nkx  — ^ (i]()  sm  (2jïky  — ^ «0! 
F ^ b/c\cos  {2n;kx 
k=:l 
^ ajc)  cos  (2jrky  — ^ n/t)  + 
-|-  8171  {2jTkx  — ^ ocjc)  8171  (2jtky  — i «0! 
= ^ \{bkFak)  cos  {2nkx  — h aj^)  cos  (2nky  --  ^ «*)  F 
k=\ 
-|-  (bjc — ajc)  sm  (2ri.kx — ^ ctk)  sin  (2nky  — ^ *^k)\- 
Daar  de  functies 
1 , V2cos{2xcky  — i «0  i 2 sin  {27tky  — . . (4) 
orthogonaal  en  genormeerd  zijn,  en  de  reeks  uniform  convergeert. 
