J172 
volgt  door  vermenigvuldiging  met  een  dier  functies  en  integratie 
naar  y van  0 tot  1,  dat  het  karakteristieke  functies  zijn,  behoorend 
bij  de  karakteristieke  getallen  1 en  ‘Ijibk — ai^. 
Daar  een  andere  karakteristieke  functie  van  continu  zou 
moetet)  zijn  en  orthogonaal  t.  o.  z.  van  liet  stelsel  (4),  blijkt  het,  dat 
een  zoodanige  functie  niet  bestaat,  aangezien  het  stelsel  (4)  volledig  is. 
De  onderstelling,  dat  F{z)  en  {z)  in  uniform  oonvergente  reeksen 
van  Foürier  ontwikkelbaar  zijn,  is  onnoodig,  zooals  uit  een  eenigs- 
zins  andere  inkleeding  van  het  bewijs  blijkt.  Stel  F{z)  en  <F>{z)  zijn 
continue  functies,  die  alleen  voldoen  aan  de  bovengenoemde  functio- 
neele  betrekkingen  (3),  terwijl  f1\—z)  = Men  heeft  dan 
1 l+a: 
j F(,r,  Fy)  coü  (2i:ky  — ^.V  = j F(§)  cos  (2.i:k^ — 2:i:Lv — 
o . x 
Daar  de  integrand  de  periode  1 heeft,  mag  men  van  0 tot  1 
integreeren  inplaats  van  ,r  tot  .r-f-i-  Daardoor  wordt 
1 1 
j F(.vF  y)  cos  (2alcy  — F(S)  cos  (2.-r/>:i — 2jTks; — 
o o 
= cos  (2nkx  \ ^ F{^)  cos  {2nk'^)d§  + sm  {2jxkx  f F{l)siri{2  Tkt)d^. 
Is  ni 
-f  akC0s{2jtkz — ajc) 
h=i 
de  reeks  \an  Fourier  van  F{z)  (de  reeks  behoeft  niet  te  conver- 
geeren),  dan  wordt 
J F{^)  cos  {2jtk'^)d^  = ^ak  cos  ak, 
o o 
en  dus  wordt  met  deze  beteekenis  van  uk 
{2jTk'è)d^  — ^ak  sin  nk 
ƒ 
F{x  I y)cos(2jTky-kak)  dy 
— ^akCos(tkCos{2jikx  -j-  D<ifc)  + ^aksin.{iksin(2zrk.c  4-  ^nk)=  \akCos{2nkx  — 
Verder  zij 
-f  2 hkCos(2irkz) 
k=\ 
de  reeks  van  Fourier  van  F[z),  zoodat 
