1173 
j F(^)  co.<t  (2jr/(;§)rf§  = , j F(i)  sin  (2.t/<'s)</?  = 0. 
()  0*^ 
Dan  is,  daar  ook  4>{z}  de  periode  1 lieeft, 
1 1 
J <P{aj  — y)  cos  {2  ikij — U'tk)d!i  “=  j {2 :t 2 i k.c  — k(<k)di 
o o 
= hbk  '-os  {2cTkx — 
Dus  wordt 
^ K (‘'N.V)  {27rk.y  — h(ik)dy  = h{bk^  f Jc)  <ios  {27ikx  — hik). 
o 
Eveiizoo  kunnen  wij  bewijzen,  dal  sin  (‘l.^kx  ~~  een  karak- 
teristieke functie  is  (terwijl  dit  \'an  1 zonder  meer  duidelijk  is).  Het 
spreekt  vanzelf,  dat  sommige  der  functies  uit  de  rij  (4)  onder  de 
karakteristieke  functies  van  A(.r,//)  kunnen  ontbreken,  id.  wanneer 
de  hijbehóorende  waarde  />„  of  nt  -}-  f>k  of  hk — ak  nul  is. 
§ 3.  Zij  l\{x,y)  een  kern  van  den  vorm 
A(.fc',?/)  = ƒ (a- +-?/)  + 7 ......  (5) 
waai'iu  weer  /■(3)  in  (0,2)  en  (({z)  in  ( — l,-]-  !)  is  gedetijueerd. 
Wederom  zij  </( — z)  = ^f{z),  zoodat  K{s\y)  .symmetrisch  is ; ook 
onderstellen  wij  w'eer  dat  f{z^  eii  7(2)  continu  zijn.  Thans  echter 
zij  voor 
/■(e  + l)  = — /V)  , y\z-])^-y{z)  ....  (6) 
De  functies 
VYcos\{lk—{)rtz-^Jk\  , \/2siv\{:2k—\)az-\Ji,\  . . (7) 
zijn  voor  k — een  stelsel  genormeerde  en  orthogonale  func- 
ties voor  alle  waarden  van  Nu  is 
^1  l-l-r 
^ f{x-ky)cos\2k—\)jTy  — hJk\dy  — ƒ /($)(!o«j(2A-— 1 (2/t— 1 
o X 
Splitsen  wij  de  integraal  in  drie  stukken,  een  \’an  0 tot  J,  een 
van  1 tot  X en  een  van  0 tot  x (de  laatste  met  het  negatieve  teeken) 
en  voeren  wij  in  de  tweede  integraal  de  substitutie  § = 1 5i  uit, 
dan  wordt  die  integraal 
— ^ ƒ(!  +-?,)  cos  j(2/l;— — (2/t  -l)7r.i’ — ^^k\d§j 
