1 1 75 
waarin  gesteld  is 
j <f(§)  cos  (2A:—  l).T5ds  = Uki 
u 
1 
ijl  sini'lk — = O is,  wegens  (({;[— z)  — —<fiz). 
o 
zt 
Als  wij  in  deze  tbinjide  door  h,-ik  -j-  x ervangen,  blijkt,  dat 
1 
ƒ 
terw 
f)(d: — ;</)  sin  \{2k—l):n:ii — \{2k~  l)rt.v 
Dit  alles  laat  zien,  dat 
j 
K {x,y)  ros  \{2k—  1 ) rr/y—  hjk\dy  = Ck)  cos  \2k~  1 ):T.r  — 
P 
K(x,y}  sin  1 )ny—h^^i/,\dy  = Cjt) 
is,  zoodat  de  functies  (7)  karakteristieke  functies  van  K[x,y)  zijn, 
behoorend  bij  de  karakteristieke  getallen  2/((:4  + Ck)  en  2/(^4 — Ck)- 
Ei‘  zijn  geen  andere  karakteristieke  functies,  want  de  functies  (7) 
vormen  een  volledig  stelsel,  zoodat  wij  de  karakteristieke  functies 
en  de  karakteristieke  getallen  van  de  kern  (5)  gevonden  hebben. 
Iedere  symmetrische  kern  van  den  vorm 
K{x,y)  = D{x^y)  + A{x—y) 
is  de  som  van  een  kern  als  (2)  en  een  kern  als  (5).  Want  zijn 
D[z)  en  A{z)  in  (0,2)  en  ( — 1,  -|-  gedefinieerd,  dan  stelle  men 
2F{z)  = D{z)  r , 2/(^)-=i>4)  — />(  1+2)  voor  0<z<l, 
2F{z)  = D{z) D{z — 1)  , 2/(2)—  D{z)  — D(z — 1)  voor 
20(2)  = A(2)  + A(2+ 1)  , 2(^4)  = A(2)— A(2  + 1)  voor  — I <2  < 0, 
2^>(2)  = A(2)  + A(2-1)  , 2r/)(2)  = A(2)-A(2-1)  voor  0^2<1, 
waardoor  overal  K{x,y)  de  som  wordt  van  een  kern  als  (2)  en  een 
kern  als  (5).  Daaruit  kan  men  echter  weinig  besluiten  aangaande 
den  aard  der  karakteristieke  functies  van  K{x,y). 
^ 4,  Wij  beschouwen  thans  een  veel  algerneener  geval, 
differentiaalvergelijking 
d { dz\ 
Zij  de 
\q{x)  + fij2  = 0 
(8) 
