1176 
gegeven  ; wij  stellen  ter  bekorting 
£\xZ  = 
(9) 
zoodat  de  ditferentiaalvergelijkmg  wordt 
LrZ  4-  f42  = 0 . . . . . . . . (8o) 
De  functie  /4(.c)  zij  eenmaal  continu  ditferentieerhaar  in  liet  inter- 
val [a,b),  q{ai)  zij  continu  in  dat  interval. 
Zij  verder  K {'c,}/)  een  sjunmetrische  kern  voor  a $ x ‘^b  en 
(i<y$b  en  zij  l^{a',,y)  tweemaal  continu  differentieerbaar  naar  .r 
(en  dus  ook  naar  y).  Voorts  zij 
L^K  {x,y)  = L,iK  {x,y)  . .....( I 0) 
Is  dan  een  continue  functie  in  {n,b),  dan  is  blijkbaar 
d /'  rdK{,v,y) 
jl'b'Kix.y) 
zooals  door  integratie  dezer  betrekkingen  naar  ,i’  blijkt,  daar  bij  de 
gemaakte  onderstellingen  de  integratie  onder  bet  integraalteeken  mag 
geschieden.  Op  dezelfde  wijze  blijkt,  dat  als  'fUq  een  karakteristieke 
functie  van  Iv{,v,y)  is,  die  functie  tweemaal  cotitinu  differentieerbaar  is. 
Wij  stellen  nog 
\ X ÖA'(.r,ï/)  n« 
^ ij,;  • <"> 
waarin  het  substitutieteeken,  als  steeds  voortaan,  betrekking  heeft  op  y. 
Dan  geldt  de  volgende 
Stelliny  l.  is  y'{x)  een  karakteristieke  fiinctie  van,  K{x,y),  m.  a.  }o.  is 
L(xqi) 
Cfix) 
K(x,y)ry(y)c/y (12) 
dan  is 
A ,(/.(.r)  = Kixry)  L,^y  {y)dy  - /’J  L{x,y)(4.iy)dy  . . (13) 
(I  a 
Betoijs.  Men  heeft 
h b 
A,y/  (x)  = ;.  j L^K ( xaj)  7 {y)dy  = l^j,JC(x,y)}  qiy)dy 
