1177 
wegens  (10).  Nu  geldt  voor  twee  willekeni'ige  tweemaal  conlinu 
dilFerent leerbare  functies  de  zoogenaamde  formule  \'an  Grekn,  die 
voor  de  functies  K{x,y)  en  ff{y)  luidt 
Daardoor  vinden  wij 
Ac(f{ar)  = K(x,y)  L//{i/)dy—X 
p(rj)  I A'(.v,y)p'(tj) 
c)A"(.};,ïd 
!]‘ 
Snbstitneeren  wij  nu  hierin 
b 
’fin)  = ^(>iT;y)^/(,v)d:v, 
a 
b 
= -'/O/Kv, 
dan  verschijnt  (13). 
Siellinc/  II.  De  iioodige  en.  voldoende  voortoaarde,  waaraan,  K{ie,y) 
moet  voldoen  opdat  een  volledig  .'itel.sel  van  ortkogonale  karakteristieke 
functies  van  K[x,y)  oidossingen  van  (8)  zijn.,  is,  dat  identiek  in  x en  y 
L{.v,y)  — 0 . (14) 
Bewijs.  Sfel  vooi’eerst,  dat  L{x,y)  = ()  is.  Indien  dan  <f{x)  een 
karakteristieke  functie  is,  die  bij  de  karakteristieke  waarde  A l)ehoort, 
dan  volgt  uit  (13) 
h 
= '‘J  K{x,y)L0{y)dy. 
Dus  is  ook  llx(fix)  een  bij  I behoorende  karakteristieke  functie. 
Laat  nu  (pjx),  . . . .,  q fx)  een  volledig  bij  A behoorend  orthogonaal 
en  genormeerd  stelsel  van  kaï'akteristieke  functies  zijn,  dan  zijn  dus 
ook  L^ifijx), Lyfuix)  karakteristieke  functies,  bij  / behoorend  ; 
zij  kunnen  dus  lineair  in  q jx),  . . . .,  </  „(a’)  worden  uitgedi-nkt,  stel 
door  de  formules 
(^’)  = ^ ciKpfx) (15) 
Dan  is 
h 
^d=J  q j(x)k^xq  ,(x)dx. 
a 
76 
Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXVll.  A".  1918  19. 
