1178 
De  formule  van  Green  geeft  dan 
Cij  — Cji  =J («)—  (a;)Axrfij(a;)lda!  = 
[p(vy,fpjOiy/^'iN  - Ti  (»i)tV(’i)}]* 
en  substitueert  men  hierin 
'Pjiv) 
Cf 
ƒ 
K{x,r\)  (f)j(x)dx^ 
dK{iü,7i) 
dtj 
ifj{x)da 
en  overeenkomstige  uitdrukkingen  voor  en  met  y als 
integratieveranderlijke,  dan  komt  er 
Tj  a!)(pi{y)dxdy 
y)(pj{x)<pi{y)dxdy  = 0. 
Dus  is  Cij  = Cji-  Door  een  orlliogonale  transformatie  kan  men  nu 
steeds  n nieuwe  functies  vinden,  die  lineair  in 
r/'j(.r),  . . . .,*Pn{^)  zijn,  ook  ortliogonaal  en  genormeerd  zijn,  maar  die, 
inplaats  van  aan  (15),  voldoen  aan  vergelijkingen  van  den  vorm 
tp/(.v), 
d.  w.  z.  aan  (8).  Daarmede  is  bewezen,  dat  de  voorwaarde  ^(.-1;,?/)  = ü 
voldoende  is. 
Zij  thans  gegeven,  dat  een  volledig  stelsel  van  orthogonale  karak- 
teristieke functies  van  K{x,y)  bestaat  uit  louter  oplossingen  van  (8). 
Dit  stelsel  zij  (pi{x),  ....  en  de  bijbehoorende  waarden 
van  IX  zijn  p,,  . . . .,p,  , . . . . Dan  volgt  uit  (12)  en  (13) 
O O 
L,>fi(x)  -f  yi<i{x)  = li^K{x,y)\L,i(pi{y)  \ m q {y)\dy — L{x,y)<pH{y)di 
a a 
en  dus,  daar  (pi{x)  aan  de  ditferentiaalvergelijking  voldoet, 
b 
ƒ 
H‘«^yyf‘i(y)dy  = b 
