1179 
voor  alle  i.  Dus  is  een  functie  van  y,  die  orthogonual  is  t.o.z. 
van  alle  karakteristieke  functies  van  /v(.r,y)  en  daaruit  volgt 
h 
J £\{a;,y)  K{y,z)dy  =z  0 .......  (16) 
voor  alle  x en  y in  (a,6).  Tevens  is 
dK{y,z) 
J ^ dy  — 0 
. . . . (16a) 
Nu  is 
J{A{a;,y)\^dy  =zj  A{ai,y)  p(y)\^K{x,il) ^ j J ~ 
a a 
h o 
=|^p('»j)/(' (aj,'»;)J  L(x,y) — p(y) J 
en  dit  is  0 wegens  (16)  en  (16a).  Daar  A(,r,v)  continu  is,  is  dus 
voor  alle  waarden  van  x en  //  in  (a,^)  de  functie  A(.r,_y)  = 0. 
Hiermede  is  aangetoond,  dat  de  voorwaarde  noodzakelijk  is. 
d" 
Voorbeeld.  Zij  A.^.  = — . De  kern  K{x,y)  is  dan  van  den  vorm 
dx'‘ 
K(x.y)  — F(x-\-y)  ! *I^{x — y) 
en  d>[x~y)  = ^l\y — aj.  Zij  a = 0,  6 = 1 en  zij  aan  (3)  voldaan, 
dan  is 
L(x,y)  = ({/^(^+1)  + n^-l)\  {F’iy  + l)  - «P'CV-  Di  ~ 
- {FV  + D - ^>’{x~l)\{F(yFn  + ^^>(iH-l)!) 
- (<^V)  + <T>(x)\{Fiy)—0’(y)\  - \F\x)~fI>\x)\  \F{y)  \- <1>(y)\) 
Is  nu  aan  (3)  voldaan,  dan  wordt  L[x,y)  = 0.  Is  aan  (6)  voldaan, 
met  vervanging  van  f door  F en  (y  door  '/»,  dan  wordt  ^(x,y) 
eveneens  nul.  In  beide  gevallen  zijn  dus  de  kaï'akteristieke  functies 
oplossingen  van  (1),  hetgeen  het  in  § 2 en  § 3 gevondene  bevestigt. 
" Q{x),  K(x,b)  = 8(x)  K{x,a)  — T (a;), 
^ 5.  Wij  gaan  nu  de  gevonden  voorwaarde  (14)  van  meer  nabij 
beschouwen.  Stellen  wij  ter  bekorting 
— = P(;c),  — 1 
Oï]  |„=ö  V 
dan  wordt  zij 
;)(è)  j S(«)  P(?/)  — Pl.r)  S(?/)  j =jö(tt)  j 7’ (.-?;)<)(?/)  — Q(a;)  7’ (jf)|  . . (14a) 
Laat  nu  vooreerst  p{h)  0,  yia)  7^  0 zijn  en  stel  er  zijn  twee  waarden 
76* 
