J18J 
Indien  het  ónmogelijk  is,  en  y^  zoo  te  vinden,  dat  0 
is,  dan  zijn  S{y:)  en  P[x)  evenredig  en  (i4a)  leert,  dat  dan  ook  Q{x) 
en  T{x)  evenredig  zijn.  Dit  kan  men  ook  beschouwen  uit  (18)  te 
volgen. 
Is  p{a)~Q,  /){b)  ^ 0,  dan  verlangt  (14a)  dat  S{x)  en  P{x)  even- 
redig zijn  en  daar  wegens  (17a)  dan  ook  (18)  de  evenredigheid  van 
S{x)  en  P{x)  tot  gevolg  heeft,  kan  men  zeggen,  dat  ook  in  dat  geval 
(18)  blijft  gelden.  Evenzoo  blijft  (18a)  geldig  voor /X6)  = 0, /Xa)  ^ a. 
Is  p{a)  = pib)  = 0,  dan  zal  een  kern,  waarvoor  de  functies  P{x), 
Q(x),  S(x)  en  T(.v)  eindig  blijven,  steeds  aan  (14)  voldoen,  zoodat 
hare  karakteristieke  functies  steeds  oplossingen  van  (8)  zijn. 
§ 6.  Uit  de  voorwaarden  (18)  voor  de  kern  kaïi  men  nu  zonder 
moeite  voorwaarden  afleiden  voor  de  karakteristieke  functies.  Is 
cpiix)  een  zoodanige  functie  en  is 
h 
(f  i(x)  = xj  K{x,y)(pi{y)dy, 
dan  wordt 
duf 
, / ÖK.{x,y) 
<p,{w}  = j ffi  {y)dy 
ij  i («)  = Xi^K  {y,a)c(i  {y)dy  , (p'i  (a)  = 'X  j"  j X'i  (yVk 
^niy)  = X ^ '^{y^b)<pi{y)dy  , (f'i  (è)  = X ^Hi{y{dy- 
Dus  wordt  wegens  (18) 
qi(b)  = (((pi{a)  -f  ^ip'i{a), 
<p'i{b)  =z  y(pi{a)  I-  fV.  («)- 
. (19) 
^ 7.  Wij  gaan  tenslotte,  onafhankelijk  xan  eenige  kern,  onder- 
zoeken, wanneer  twee  oplossingen  vati  (8)  orthogonaal  zijn,  en  zullen 
zien  dat  dit  de  condities  (19)  zijn.  Laat  </(«)  en  tp(.r)  twee  oplossin- 
gen zijn,  zoodat 
L^(p{x)  + = 0, 
-f  = 0. 
Door  de  eerste  dezer  vergelijkingen  met  iK-r),  de  tweede  met  yix) 
te  vermenigvuldigen  vindt  men  na  aftrekking 
