1182 
dx 
en  hieruit  door  integratie  van  a tot  b 
b 
Behooren  (/  en  ip  bij  verschillende  (x’s,  dan  volgt  hieruit,  dat  voor 
de  orthogonaliteit  noodig  en  voldoende  is,  dat 
^’(^’)v'(»i)!]*  =0 (20) 
Behooi’en  <p  en  if'  bij  dezelfde  n,  dan  is  de  voorwaarde  noodig. 
Is  dus  ((^{x),  ....  een  orthogonaal  stelsel,  dan  moet  (19)  voor 
elk  paar  functies  van  het  stelsel  gelden. 
Stel  nu  algemeen 
<fi{a)  = xi  , (pi{a)  — i^t  , (pi{b)  = u,  , (f'i{b)  vi, 
dan  wordt  (19) 
p(a)  (xiy j~Xjyi)  = p{b)  (uiVj  — UjV,) 
voor  elk  paar  indices  i en  j.  Voor  de  drie  indices  i,  r en  s luiden 
de  vergelijkingen 
p{a)  {xiyr — Xryi)  = p{b){ui  v,- — u,.Vi  ) ' 
p{a)  (x,.ys—-'’syr)  = p{b)  (UrVs—UsV,.), 
p{a)  {x^yi—xiys)  = p{b)  {UsVi  — uiVg). 
Vermenigvuldig  de  eerste  dezer  vergelijkingen  met  de  tweede 
met  Ui,  de  derde  met  u,.  en  tel  op.  Er  komt  dan 
; '>i  -Vi  yi 
p{a) 
Uy  y,- 
0 
1 ug  Xg  ys 
Evenzoo  vindt  men  door  vermenigvuldiging  met  v.,,  v^  en  v, 
p{a) 
vi  xi  yi 
V,.  X,.  y,. 
— 0 
Vs  ys 
Is  dus  p{a)  7^  0,  dan  wordt  door  ontwikkeling  naar  de  elementen 
der  eerste  rij 
UiiXrys—iVsyr)  + ‘Vi{y,.Us  — ysUr)  -j-  yi{u,.Xs  — UsXy)  z=  0, 
Vi{Xrys  -Xsyr)  f XiiyrVg-ygVr)  -f  yiiyrXs—Vs^,)  = 0. 
Laat  nu  de  indices  r en  s zoo  gekozen  zijn,  dat  — .rsy»  7^  0 in- 
stellen wij  dan 
VsUr yrU,  UgXr UyXg  ygVy PrVs  VgXy VyXg 
' = a, =r  = y,  = rf, 
Xrys—Xgy,.  ‘Vyys  — Xgy,  Xrys—x,y,.  Xrys—Xgy,. 
