Wiskunde.  — De  Heer  Jan  de  Vries  biedt  eene  mededeeling  aan 
over:  „Een  involutie  in  de  stvalenruim.te,  die  bepaald  wordt 
door  een  bilineaire  congrnentie  van  elliptische  biquadratische 
ruimtekrommen” . 
§ 1.  De  ruimtekrommen  van  den  vierden  graad  (eerste  soort),  die 
elke  van  twee  vaste  krommen  derzelfde  soort  in  acht  punten  snijden, 
vormen  een  bilineaire  congruentie^).  Een  willekeurige  rechte  t is 
bisecante  van  één  dier  krommen  (>“ ; in  haar  snijpunt  P mei  het 
vaste  vlak  « wordt  zij  gesneden  door  één  andere  bisecante  t'  der 
bedoelde  pk  De  rechten  t en  t'  vormen  een  paar  van  een  stralen- 
involutie,  welke  hier  zal  worden  onderzocht. 
Elke  bisecante  b der  vaste  kromme  d’  is  singulier  voor  de  con- 
gruentie [p^].  Immers  deze  wordt  voortgebracht  door  twee  bundels 
(ƒ)  en  (y^)  van  quadratische  oppervlakken,  welke  de  vaste  krommen 
en  tot  bases  hebben;  de  hyperboloïde  d*.  welke  6 bevat,  wordt 
door  de  oppervlakken  van  den  bundel  (/^)  in  krommen  p^  gesneden, 
die  allen  de  rechte  b tot  koorde  hebben.  De  tweede  rechte,  è*,  welke 
die  hyperboloïde  door  het  punt  bu  zendt,  is  gemeenschappelijke 
koorde  voor  dezelfde  krommen  pk  De  bisecanten  der  basiskrommen 
d^  en  7“*^  zijn  dus  niet  singulier  voor  de  involutie  {t,  t'). 
\ 2.  De  congruentie  [p'*]  heeft  nog  andere  singuliere  bisecanten 
5;  op  elke  rechte  .s'  bepalen  de  bundels  dezelfde  in voiutie ; de  rechten 
s zijn  tot  een  congruentie  (7,3)  vereenigd "). 
Door  de  involutie,  welke  (d^)  en  (y’)  op  s bepalen,  worden  zij 
projectief  gemaakt.  De  krommen  ok  welke  elk  door  twee  homologe 
hyperboloïden  worden  voortgebracht,  liggen  op  een  biquadratisch 
oppervlak,  dat  de  rechte  ,9  bevat.  Het  heeft  met  een  vlak  a door  s 
een  kromme  ö®  gemeen,  welke  de  meetkundige  plaats  is  van  de 
puntenparen,  die  de  krommen  buiten  s,  met  6 gemeen  hebben. 
De  involutie  dier  paren  is  centraal,  d.  w.  z.  de  koorden  t',  welke 
die  paren  dragen,  komen  samen  in  een  punt  S van  nk  Dekoorden 
t'  van  elke  o\  die  op  s rusten,  vormen  een  regelschaar;  de  hyper- 
b Zie  mijn  mededeeling:  ,,Een  hilineaire  congruentie  van  biquadratische  ruimte- 
krommen der  eerste  soort".  (Verslagen  XX,  197—201). 
b T.  a.  p.  bl.  199. 
