1198 
boloïden  waarop  die  scharen  liggen,  zijn  vereenigd  tot  een  bundel, 
waarvan  de  basis  uit  s en  o’  bestaat.  Daar  <f  twee  punten  met  s , 
gemeen  heeft,  zal  het  involutiecentrum  S,  bij  wenteling  van  het  1 
vlak  a,  tweemaal  op  s komen.  Bijgevolg  vormen  de  koorden  t' , die 
.9  in  een  punt  F snijden,  een  kubisch  kegelvhik  met  diibbelribbe  s.  1: 
De  singuliere  rechten  s zijn  dus  ook  singulier  voor  de  involutie  ^ i' 
^ 3.  Ik  beschouw  nu  de  meetkundige  plaats  der  krommen 
die  ieder  een  koorde  in  den  waaier  ( 7",  t)  brengen.  De  krommen 
welke  (5'*  in  het  punt  B snijden,  liggen  op  de  hjperboloïde  die 
door  B gaat.  Deze  snijdt  t volgens  een  kegelsnede,  waarop  de 
krommen  een  involutie  7'*  bepalen;  hierbij  behoort  een  directie- 
kromme  van  de  derde  klasse.  Dus  beval  de  waaier  (^)  drie  koorden 
van  krommen  p/J^  en  hieruit  volgt,  dat  de  basiskrommen  11“  en  y“ 
drievoudig  zijn  op  het  oppei'vlak  ’Z'. 
De  meetkundige  plaats  der  puntenparen  Q,  Q' , waarin  de  stralen 
t van  den  waaier  (T,  t)  door  krommen  p“  tweemaal  worden  ge- 
sneden, is  een  kromme  met  drievoudig  punt  T,  welke  de  door- 
gangen Bh  en  Ck  (7  = 1,2,  3,  4)  der  basiskrommen  il“  en  y“  bev^at ‘). 
Een  hyperboloïde  /3'  heeft  met  t‘,  behalve  de  vier  punten  5,  drie 
paren  Q,  Q'  gemeen.  Dus  worden  de  bundels  (fi’)  en  (y^)  door  de 
stralen  {t)  in  een  verwantschap  (3,3)  gebracht;  bijgevolg  is  de  meet- 
kundige plaats  W een  op|)ervlak  van  den  twaalfden  graad. 
Zij  nu  (7y,  2)  een  andere  waaier,  F de  bijbehoorende  kromme  (die 
analoog  is  met  t“).  Van  de  snijpunten  van  F met  'F'"-*  liggen  8X3 
in  de  punten  Bk,  Ck;  de  overige  36  vormen  18  paren  steunpunten 
van  koorden  van  krommen  p“.  Hieruit  volgt,  dat  de  bisecanten  der 
krommen  p“,  die  ieder  een  koorde  in  een  gegeven  waaier  brengen,  tot 
een  complex  van  den  18*^"  graad  zijn  vereenigd. 
§ 4.  De  kromme  p“,  welke  door  het  in  a aangenomen  punt  P 
gaat,  wordt  uit  P geprojecteerd  door  een  kubischen  kegel,  waarvan 
de  ribben  .y*  singuliere  stralen  der  involutie  {t,  t')  zijn.  Elke  ribbe  is  | 
toegewezen  aan  alle  andere  ribben  van  dien  kegel,  is  dus  tevens 
coïncidentiestraal.  De  kromme  t®,  die  door  een  waaier  (7’,  t)  wordt 
bepaald,  heeft  vijf  punten  P gemeen  met  de  rechte  «r;  elk  dier 
punten  brengt  een  singulieren  straal  s*  in  den  waaier.  De  stralen  s* 
vormen  dus  een  complex  van  den  vijfden  graad. 
Een  rechte  4 in  het  vlak  n is,  in  het  algemeen,  koorde  van  één 
p“.  Alle  koorden  van  deze  p“,  die  op  L rusten,  zijn  in  de  involutie  j 
1)  T.  a.  p.  bl.  199. 
