Wiskunde.  — De  Heer  Brouwer  biedt  een  tïiededeeling  aan : 
„Over  topologische  involuties'’ . 
Onder  een  topologische  involutie  van  de  /i*  orde  eener  A-dimensio- 
nale  ruimte  F verstaan  we  een  zoodanige  verdeelir)g  van  F in 
systemen  van  teti  hoogste  n punten,  dat  de  verzameling  dezer  syste- 
men zicli  sitaal  (d.  i.  eeneendnidig  en  continu)  laat  afbeelden  op  een 
andere  ^-dimensionale  ruimte  M,  die  we  de  moduulndmte  der  invo- 
lutie noemen. 
^ 1.  Involuties  van  lijnen. 
Zij  P een  punt  van  de  moduullijn  j\[,  dat  eind|)unt  is  van  een 
zoodanig  segment  s van  AI,  waarvan  elk  punt  n verschillende 
beeldpunten  op  de  lijn  F bezit,  terwijl  voor  P zelf  m ^ 1 dezer 
beeldpunten  in  een  punt  Q van  F samenvallen.  Kiezen  we  een 
punt  C van  s dicht  genoeg  bij  P,  dan  vallen  voor  de  punten  van 
F in  de  nabijheid  van  Q,  die  nóch  aan  P nóch  aan  C beantwoor- 
den, drie  en  slechts  drie  categorieën  te  onderscheiden;  zulk  een 
punt  is  of  beeldpunt  van  een  tusschen  C en  P liggend  punt  van 
Al  en  kan  dan  zonder  ontmoeting  der  in  de  nabijheid  van  Q lig- 
gende beeldpunten  Z);,/),,  ....  D,n  van  C met  Q worden  verbonden, 
of  beeldpunt  van  een  door  C van  P gescheiden  pnnt  van  Al,  in 
welk  geval  het  zonder  ontmoeting  van  Q,D^,D^,  ....  Dm  nit  de 
nabijheid  van  Q kan  worden  verwijderd,  (>ƒ  beeldpunt  van  een  door 
P van  C gescheiden  punt  van  M,  in  welk  geval  het  zoowel  zonder 
ontmoeting  van  D^,D^,....  Dm  met  Q verbonden,  als  zonder  ont- 
moeting van  Q,D^,D.^,  ....  Dm  uit  de  nabijheid  van  Q verwijderd 
kan  worden.  Dit  beteekent  echter  voor  in  'f>  1 een  onmogelijkheid, 
zoodat  ieder  punt  van  Al  noodzakelijk  n ver. 'schillende  beeldpunten 
op  F bezit.  Hieruit  volgt  onmiddellijk,  ten  eerste,  dat  F een  gesloten 
lijn  is,  ten  tiveede,  dat  de  involutie  van  de  orde  van  F topologisch 
aequivalent  is  met  een  n-periodieke  rotatiegroep. 
§ 2.  Involuties  van  oppervlakken. 
Zij  d een  zoodanig  gebied  van  het  moduuloppervlak  AI,  waarvan 
ieder  punt  n verschillende  beeldpunten  op  het  oppervlak  F bezit, 
en  P een  zoodanig  bereikbaar  punt  van  de  grens  van  d,  tlat  langs 
