1202 
een  zekeren  uit  /?  naar  P voerenden  weg  m deze  n beeldpunten  1 
tot  het  beeldpunt  Q van  P convergeeren.  Zij  j een  op  M in  de  | 
nabijheid  van  P om  P getrokken  enkelvoudige  gesloten  kromme,  I 
k haar  op  F in  de  nabijheid  \'an  Q gelegen  beeld.  Kiezen  we  j 
klein  genoeg,  dan  is  een  pnnl  van  F'  in  de  nabijheid  van  Q,  dat  j 
niet  aan  een  punt  van  j beantwoordt,  of  beeldpunt  van  een  punt  [; 
van  M binnen  j en  kan  dan  zonder  ontmoeting  van  k met  Q wor-  ! 
den  verbonden,  bf  beeldpunt  van  een  punt  van  M buiten  J,  in  welk  I 
geval  het  zonder  ontmoeting  van  k nit  de  nabijheid  van  Q kan  i 
worden  verwijderd.  Daar  derhalve  k op  F twee  en  slechts  twee  ! 
gebieden  bepaalt,  is  k een  enkelvoudige  gesloten  kromme,  waai’op 
de  gegeven  involiitie  van  F een  involutie  met  j als  moduullijn 
bepaalt,  die  noodzakelijk  van  de  orde  en  derhalve  topologisch 
aequivalent  met  een  ni-periodieke  rotatiegroep  moet  zijn.  Hieruit 
volgt  on  middellijk,  ten  eerste,  dat  de  beeldpunten  der  bereikbare  j 
punten  van  de  grens  van  d,  dus  ook  deze  bereikbare  punten  zelf  j 
geïsoleerd  zijn,  dat  derhalve  die  punten  van  waarvan  het  aantal  ' 
beeld[)unten  minder  dan  n bedraagt,  evenals  de  correspondeerende 
beeldpunten  zelf,  geïsoleerd  zijn,  ten  tweede,  dat  het  oppervlak  F 
als  een  Riernannsch  oppervlak  n-hladig  ligt  uitgehreid  over  het  moduul-  ' 
oppervlak  M.  ' 
§ 3.  Eindige  groepen  van  lijnen.  \ 
I' 
We  beschouwen  een  eindige  groep  G van  n sitale  (d.  i.  eeneen-  | 
duidige  en  continue)  transformaties  met  invariante  indicatrix  van  een  j 
lijn  F.  Daar  iedere  transformatie  van  G periodiek  is,  moet  i^nood-  ' 
zakelijk  gesloten  zijn  en  kan  voor  geen  enkele  transformatie  van  G 
een  invariant  punt  bestaan.  Zij  nu  .t  een  segment  van  F,  waarvan  : 
het  eeite  eindpunt  door  de  transformatie  t van  G in  het  andere  [ 
eindpunt  5,  overgaat,  dat  echter  voor  het  overige  geen  twee  voor  G 
aequivalente  punten  bevat.  Laten  8.^,8^,  ....  8m,8,n-{-i  = «Sj  de  punten  j 
van  F zijn,  waarin  /Sj  door  de  achtereenvolgende  machten  der  | 
m-periodieke  transformatie  t overgaat.  Dan  kan  geen  der  segmenten  | 
-Sa*Sa-(-i  behalve  zijn  eindpuntenpaar  nog  een  ander  paar  van  voor  G 
aequivalente  punten  bevatten,  zoodat  twee  punten  van  F slechts  j 
dan  voor  G aequivalent  zijn,  als  ze  door  een  macht  van  t in  elkan-  ! 
der  overgaan.  Daar  derhalve  de  groep  G uitsluitend  de  machten  | 
van  t bevat,  is  zij  topologisch  aequivalent  met  een  ?2-periodieke  i 
rotatiegroep,  m.  a.  w.  zij  is  een  involutie  va7i  de  orde.  j 
^ 4.  Eindige  groepen  van  oppervlakken.  | 
We  beschouwen  een  eindige  groep  G van  n sirale  transformaties  | 
