1233 
van  de  opvolgende  gehele  pozitieve  machten  van  x,  welke  getrans- 
inuteerden  volgens  de  definitie  bestaan  en  tot  de  sirkel  («)  behoi’en. 
Het  bovenbedoelde  teorema  van  Mac  Laühin  bestond  nu  daarin  dat 
het  de  gelijkheid  van  de  transmutaties  T en  P uitsprak,  in  een 
zeker  numeriek  veld  (»'),  onderdeel  van  (nr)  of  daarmee  samenvallend, 
indien  laatstgenoemde  transmutatie  volledig  was  in  (d) '). 
In  deze  uitspraak  is  iets  onbevredigends.  Vergelijkt  men  hem 
met  het  teorema  van  Taylor  voor  de  funksieteorie,  dan  merkt  men 
een  verschil.  Bij  het  laatstgenoemde  wordt  beweerd  : ,,als  een  funksie 
in  zeker  sirkelvormig  gebied  rondom  een  punt  die  en  die  eigen- 
schappen heeft  (nl.  een  bepaald  differentiaalquotient  bezit)  dan  kan 
hij  in  dat  gebied  in  de  reeks  van  Taylor  ontwikkeld  worden”. 
Men  hoeft  dus  aan  de  laatstgenoemde  reeks  geen  bijkomstige  voor- 
waarden op  te  leggen  (bv.  dat  hij  in  het  genoemde  gebied  konver- 
geert),  anders  gezegd,  dergelijke  voorwaarden  zijn  vanzelf  vervuld. 
Men  zou  dus  wensen  dat  ook  voor  de  funksionaalrekening  het  teorema 
zo  zou  kunnen  worden  uitgesproken  dat  aan  de  met  de  beschouwde 
transmutatie  T korresponderende  reeks  geen  bijkomstige  voorwaarde 
van  volledigheid  behoefde  gesteld  te  worden,  maar  dat  deze  voor- 
waarde uit  de  eigenschappen  van  T vanzelf  voovivXomAQ.  Wij  hebben 
indertijd,  bij  de  invoering  van  het  begrip  ,, normale  transmutatie” 
(l.c.  lll,  n“.  15)  gedacht  dat  dit  niet  het  geval  behoefde  te  zijn. 
Tans  menen  wij  evenwel  de  stelling  te  kunnen  bewijzen: 
De  met  een  normale  additieve  transmutatie  korresponderende 
reeks  stelt  een  volledige  transmutatie  voor. 
We  beschouwen  eenvoudigheidshalve  een  gebied  rondom  de  oor- 
sprong en  daarin  de  oneindige  reeks  van  funksies 
1,  .r,  .P, . . . ,c"‘, (4) 
waarmee,  volgens  definitie,  een  oneindige  reeks  van  getransmuteerden 
• • (5) 
overeenstemt,  die  alle  in  een  sirkelvormig  gebied  («)  met  ,c  = 0 tot 
middelpunt  en  a tot  straal  regulier  zijn.  Is  e een  willekeurig 
klein  pozitief  getal,  dan  konvei-geert  de  uit  (4)  afgeleide  reeks  van 
funksies 
^ x"^  x"‘  g 
(J  -f  6 (rj  -f  f)’’  ■■  ■ ((1  + S)’» 
b Een  transmutatie  P,  die  door  een  reeks  van  de  vorm  (1)  wordt  voorgesteld, 
heb  ik  volledig  in  een  gebied  (x)  genoemd,  als  er  een  zekere  sirkel  [o],  konsentries 
met  (3£),  is  aan  te  wijzen,  zodanig  dat  alle  funksies  die  tot  (,ot  behoren  een  in 
(a)  reguliere  getransmuteerde  hebben.  De  minimumsirkel  (/?)  die  voor  (/?)  genomen 
kan  worden  heb  ik  het  met  (x)  korresponderende  gebied  genoemd  (1.  c.  I,  n”.  4). 
