1234 
iii  het  gebied  {o)  miifonn  tof  mil.  Volgens  een  eenvoudig  te  bewijzen 
kontinniteitseigenschap  (l.c.  II,  n".  11)  zal  dan  de  reeks  van  de 
geti-ansmnteei-den  van  laatstgetioemde  fnnksies,  die,  op  grond  van  de 
additieve  eigenschap  van  de  transmutatie,  kan  worden  voorgesteld 
door 
r ^ /gf,  ; 
f 4-  e)'’  ’ ’ ' (<J  + f)'"’  ' ' ' ’ ’ ’ ’ ' i 
in  het  gebied  (<d  uniform  naar  nnl  konvergeren;  immers  een  ' 
normale  transmutatie  is  kontinn  in  een  gekonjugeerd  tweetal  velden.  ! 
Voor  genoegzaam  grote  ni  heeft  men  dus  in  alle  punten  van  (tj)  i 
1 è,.  !<(<?  + (7)  i 
Uit  de  betrekking  (2)  volgt  nu  gemakkelik  dat  voor  de  koef-  | 
tisienten  van  de  reeks  (1)  een  dergelijke  ongelijkheid  geldt,  d.w.z. 
dat  ook  deze  kleiner  zijn  dan  de  macht  van  een  van  m onaf-  I 
hankelik  getal.  Geldt  nl.  de  ongelijkheid  (7)  voor  in  grooter  dan  ! 
dan  heeft  men  volgens  (2),  daar  \x\  hoogstens  gelijk  a is,  ' 
l«m|  < 
<. * 
° I 
4 ^ 4-  (<j  4-  « 4-  f)»>  I 
Het  eerste  deel  van  het  rechterlid  van  deze  ongelijkheid  bestaat  j 
nit  een  vast,  van  m onafhankelik  aantal  termen,  waarvan  ieder  bij  i 
genoegzaam  grote  m.  kleiner  is  dan  (« -|- f)'",  zodat  hetzelfde  geldt  van  , 
hun  som.  Het  tweede  deel  is  groter  dan  dit  laatste  bedrag,  dus  j 
heeft  men  voor  genoegzaam  grote  in  alle  punten  van  het  gebied  («) 
l«m|<(<J  4-  + 0”' (8)  i 
en  dus  ook  1 
1 
Urn  |a„,|  a (8')  ^ 
jn  = 00 
De  uit  (8')  blijkende  eindigheid  van  de  bovenste  limiet  in  het  j 
linkerlid  van  deze  ongelijkheid  is,  volgens  onze  beschouwingen  (l.c.  I,  ' 
n'.  4),  juist  de  voorwaarde  waarop  de  transmuterende  reeks  (1)  i 
volledig  is  in  het  gebied  («),  wel  heeft  het  korresponderende  l 
gebied  [[i)  een  straal  ^ die  hoogstens  gelijk  is  aan  o -|- 2«.  Voor 
alle  funksies  u die  tot  de  sirkel  (<J-l-2«)  behoren  levert  de  reeks 
P dus  een  getransmuteerde  Fm  in  het  gebied  («)  op,  en  deze  is 
volgens  het  door  ons  uitgesproken  teorema  van  Mac  Laurin  gelijk 
OTfca'"- 
-j-  TfC 
mo  + 1 
