1492 
Reelsontwll'keUny  van  een  vorm  in  m rijen  van  n variabelen. 
Zij 
p 
= u.®  . . . . xV  y’^ . . . 
p 
p 
een  vorm  in  de  ?n  variabelenrijen  x’,  y’, . . . en  m = urv^. . . de  oorres- 
p 
pondeerende  afïinoi'.  Men  kan  m ontwikkelen  naar  nietrednceerbare 
kovaiianten.  Iedere  term  is  dan  een  som  van  geordende  alternaties, 
die  ieder  bestaan  nit  een  doordringend  product  van  een  voor  dien 
term  karakteristiek  aantal  ('  factoren  E met  een  lineair  homogeen 
nietrednceerbaren  affmor  van  den  graad  F — an.  Daarmede  corres- 
p 
pondeert  een  ontwikkeling  van  den  vorm  Fm  in  een  aantal  termen, 
waarvan  ieder  een  som  is  van  producten  van  een  inetrednceerbareji 
vorm  met  een  zeker  voordien  term  karakteristiek  aantal  determinanten 
gevormd  uit  n der  variabelenrijen. 
Voor  in  = n is  deze  ontwikkeling  het  eerst  aangegeven  door 
Capelli ')  en  voor  het  algemeene  geval  door  J.  Deruyts ’')  en  K. 
Petk  “')•  Zoowel  Capelli  als  Petr  leggen  aan  hun  bewijs  de  op 
blz.  1489  vermelde  eigenschap  ten  grondslag,  dat  een  vorm  in  n rijen 
van  n variabalen,  die  den  determinant  der  variabelen  als  factor 
bevat,  niet  door  12  geannulleerd  wordt.  De  afleiding  van  Capelli,  die 
aan  de  hier  aangegevene  het  meest  verwant  is,  berust  op  de  theorie 
der  differentiaaloperatoren  /^* *>.  Deruyts  gebruikt  zijn  theorie  der 
semi-invarianten  en  dcovarianten  en  Petr  maakt  gebruik  van  diffe- 
rentiaal-operatoren,  die  met  behulp  van  hulpvariabelen  worden 
samengesteld. 
De  termen  der  ontwikkeling  naai-  nietrednceerbare  kovarianten 
kunnen  weer  op  verschillende  wijzen  gesplitst  worden.  Ten  eerste 
p 
kan  iedere  term  van  m gesplitst  worden  in  algemeene  gemengde 
alternaties,  en  deze  weer  in  eenvoudige.  Daarmede  correspondeert 
p 
een  ontwikkeling  van  m in  een  som  van  termen,  die  elk  bestaan 
’)  Fondamenti  di  una  teoria  generale  delle  forme  algebriclie.  Mem.  dei  Lincei 
(82)  § 74  ; Sur  les  opérations  dans  la  théorie  des  formes  algébriques,  Math.  Ann. 
37  (90)  1-37. 
*^)  Kssai  d’une  théorie  générale  des  formes  algébriques.  Mém  de  Liège.  2.  17 
(92)  4.  1 — 156;  Détermination  des  fonctions  invariantes  de  formes  a plusieurs 
séries  de  variables.  Mém.  couronnés  et  mém  des  sav.  étr.  de  Bruxelles  53  (90 — 
93)  2.  1—23. 
*)  Ueber  eine  Reibenentwicklung  für  algebraïsche  Formen,  Buil.  Intern,  de  Prague 
J2  (07)  163—191. 
9 De  vormen,  die  bier  niet-reduceerbaar  genoemd  zijn,  heeten  bij  Gapelu  : 
, formes  impropres"  en  bij  Deruyts  : ,covariants  de  formes  primaires”. 
