16 
2. De volgende onderstellingen zijn voldoende, om de beoogde 
gevolgtrekkingen te maken : 
1°. De voortbrengende fnnksie f{t) is, behalve misschien in ^ = 0, 
kontinu in het integratieinterval. 
2". De integraal (1) bestaat voor zekere waarde x = c van x. 
We stellen 
t 
o 
Dan is g {f) krachtens onderstelling 2“ een in het interval (0,1), 
ook in ^ = 0, kontinue fnnksie, en 0 voor ^ = 0. Verder is volgens 
onderstelling 1“ g [f] in alle pnnten van het genoemde interval, 
behalve misschien in ^ = 0, differentieerbaar en heeft men 
9{t)=f{t)t^ (4) 
Men kan dns herleiden, voor d" j> 0, 
1 1 
jf{t) F dt =:J g' (É) dt = (<) 
ê s 
1 
^1— c-1 gt 
Is nu x een kompleks getal waarvan het reele deel R (.r) groter 
is dan dat van c, dan kan men in deze vergelijking ö tot nul laten 
naderen, en dan komt er 
1 1 
dt = g (l) — (.V — c) 
o 
dt 
(5) 
Hieruit volgt: Als de integraal (1) bestaat voor zekere waarde van 
X, X = c, dan bestaat hij in het hele halfvlak bepaald door R{x) j> R{c) j. 
Uit de gelijkheid (5) volgt ook gernakkelik dat de integraal in 
het linkerlid in ieder gebied S, geheel in het eindige 'van R (x) > 
/f (c) + d, (d ^ 0), gelegen, een kontinue fnnksie van x voorstelt. 
Eveneens blijkt door een dergelijke redenering als zo even dat ook 
de integraal 
b Dit teorema is fundamenteel in de teorie van de voortbrengende funksies. 
Volgens Pjncherle (1. c.) is het door verschillende schrijvers bewezen, dikwels 
onder minder algemene onderstellingen dan onder en 2° vermeld De rede- 
nering in de tekst is van Lerch en wordt ook door Pincherle gebezigd. Deze 
redenering bp.rust evenwel op de koniinuiteit van ƒ(/), in het links open interval 
(0,1), hetgeen Lerch vermoedelik uit het oog verliest als hij, aan ’t eind zijn 
stelling uitsprekende, zegt dat f (t) ook wel diskontinu, mits integreerbaar, kan 
zijn. (Natuurlik wordt hiermee niet beweerd dat veralgemening niet mogelik is). 
