17 
1 
o 
bestaat voor R {x) ^ R (c), en voor ieder punt binnen dit halfvlak 
het differentiaalquotient van a (x) voorstelt, zodat a {x) tevens een 
analitiese funksie van x is. Ook deze gevolgtrekkingen vindt men 
bij PiNCHERLE vermeld. 
Lerch sluit nu het bewijs van zijn stelling eveneens bij de ver- 
gelijking (5) aan. Bij het volgende bewijs zullen we evenwel gebruik 
maken van een vergelijking die uit (5) ontstaat door de stap die tot 
deze laatste gevoerd heeft, nog een keer te herhalen. We stellen dus 
t 
h {t) = (u) du (7) 
o 
Dan is weer h(t) kontinu en differentieerbaar in (0,1) en men heeft 
h’(t) = git) . (8) 
Van belang is echter dat deze laatste vergelijking nu óók geldt in 
t — 0 , en dat de afgeleide van h{t) dus een in het gesloten interval 
(0,1) geborneerde funksie is. Merken we verder op dat men heeft 
lim \]i (t) : — A' (0) — g (0) = 0, 
« = o 
zo vindt men door partiele integratie, op dergelijke manier als zo 
even, mits altijd R{x) j> R{c), 
1 1 
1 (t) dt = h{\) — {x—c — l) {t) dt. . . (9) 
en dus 
« (,v) = g (1) — (x — c) A (1) -(- (x — c) (x —c — dt. 10) 
3. Al het voorgaande geldt onafhankelik van enige verdere 
onderstelling omtrent f{t). Stel nu vooreerst dat a{x) nul wordt 
voor de rekenkundige reeks van waarden 
x = ^-r^, (,U = 0, 1, 2, . . .). . . . . (11) 
We kiezen dan het getal c uit de voorgaande vergelijkingen gelijk 
aan §, dan is ^(1) = 0, en dus ook de integraal in het rechterlid 
van (5) voor 
+ 1 + (f* = 0? 1> 2, , . .) . . . . (12) 
Hieruit volgt weer dat A(l) gelijk is aan nul, en, in verband hier- 
mee, uit (10) 
2 
Verslagen der Afdeeling Naluurk. Dl. XXVIII. A®. 1919/20. 
