19 
g {t), en daar — (behalve misschien in ^ = 0), zo is ook 
de voortbrengende funksie f{t) zelf in het interval (0,1) gelijk aan 
nu). Dit is liet tv^'eede deel van de stelling van Lerch. Daar het 
eerste deel onmiddellik uit het tweede volgt, is de stelling hiermee 
bewezen in het biezondere geval dat de rekenkundige reeks van de 
nulpunten 1 lot verschil heeft. 
Is dit verschil gelijk aan het pozitieve getal j], en worden de 
nulpunten dus voorgesteld door formule (2), dan stellen we 
t'i =: s, X — r}y, § ric 
waardoor de integraal (1) overgaat in 
o o 
De funksie — ^ = cp (s) heeft de eigenschappen onder 
1“ en 2" van het begin van het vorige nummer vermeld, zodat de 
voorgaande redeneringen er op van toepassing zijn. De integraal (15) 
wordt nul voor de rij van waarden (11), dus is rp (s) en daarmee 
ook /(.s‘) identiek gelijk aan nul in het interval (0,1). Het teorema 
van T.IERCH is hiermee volledig bewezen. 
4. Men kan het eerste deel van dit teorema, nl. a {x) identiek 
nul wordt, als dit voor een rekenkundige reeks van «-waarden geschiedt, 
ook rechtstreeks bewijzen, zonder eerst aan te tonen dat het tweede 
deel juist is, en wel is het een onmiddellik gevolg van de stelling; 
Iedere funksie a (x) bepaald door een integraal van de vorm (1) 
kan, onder de onderstellingen 1“ en 2° aan’t begin van 2 genoemd 
in een binomiaalkoeffisientenreeks 
o 
ontwikkeld loorden, als ^ een getal is dat binnen het konvergentiegebied 
van de integraal ligt. 
Nemen wij nl. een ogenblik aan dat deze stelling waar is. Wordt 
ci{x) nu nul voor de reeks van waarden (11), dan stelle men in 
(16) ^ = ‘è- Door X achtereenvolgens gelijk aan §, ^ -f- 1, ^ -f- 2, . . . 
te nemen, vindt men dan dat alle koeffisienten c„ van de binomiaal- 
ontwikkeling nul zijn, en dat dus a («) identiek gelijk aan nul is. 
Het eerste deel van de stelling van Lerch wordt op die manier 
al zeer gemakkelik ingezien en het zou dus geschikt zijn, als men 
uit dit eerste deel onmiddellik, of altans langs kortere dan de boven 
2 * 
