20 
aangegeven rechtstreekse weg het tweede deel kon afleiden. Maar 
we zien daartoe vooralsnog geen kans. Op de keper beschouwd is 
de gegeven afleiding al taraelik kort, naaar bovendien achten wij het, 
op gronden die we, ter wille van ruimtebesparing, hier niet nader 
aangeven, niet waarscliijnlik dat men voor het genoemde doel meer 
heeft aan het identiek nul worden van u [x) dan aan het nul worden 
van deze funksie voor een rekenkundige reeks van waarden van het 
argument. 
Niettemin is het eerste deel van Lerch’s teorema op zichzelf van 
belang omdat daaruit reeds mei'kwaardige gevolgtrekkingen kunnen 
worden afgeleid. Er blijkt bv. uit, zoals door Lerch wordt aange- 
wezen, dat eenvoudige funksies als 
2 
sin kx, cos kx, i 0) 
r{l—kx) ^ ^ ’ 
niet de bepalende van voortbrengende funksies kunnen zijn, m. a. w. 
niet door integralen van de vorm (1) kunnen worden voorgesteld, 
en evenmin produkten van deze funksies met andere die in het 
eindige deel van zeker gebied R{x) 'g> c binnen eindige grenzen 
blijven. 
De stelling over de ontwikkeling van de integraal (1) in een 
binomiaalkoeffisien ten reeks kan op verschillende manieren worden 
bewezen. In de eerste plaats vallen integralen van die vorm onder 
de algemene groep van funksies waarvan ik in een vroegere mede- 
deling in deze Verslagen (3 Mei 1919) heb aangetoond dat ze in 
reeksen van de gedaante (16) ontwikkelbaar zijn. Men beschouwe 
een gebied R[x) > c d, neme een pozitief getal <( d en stelle 
in de sekundaire integraal, in ’t rechterlid van {h), x = c -\- y, 
dan is R{y)> 6 — d,, dus essentieel pozitief. Men kan nu herleiden 
11 1 
g [t) dt 
< 
ƒ 
tRiy) i®'!— 1 g [t) 
dt < 
9 (0 
dt. 
0 0 o 
welke laatste integraal bestaat, omdat g{t) in (0,1) geborneerd is. 
Dus is a (x) in het hele beschouwde gebied van de vorm 
a (x) = (x — b) p (x) 
waarin p (x) binnen eindige grenzen blijft (b is een zeker getal buiten 
het gebied). Dergelijke funksies kunnen echter steeds in de bedoelde 
reeksen worden ontwikkeld. 
Een tweede, meer rechtstreeks bewijs krijgt men door in de 
sekundaire integraal in (5) te stellen t = 1 — u en te herleiden 
(1 _m)x-c-i = (1 _ m)/S-c-i (1 _ ^ ( _ lyn 
o 
