21 
waarbij de reeks voor R («) ^ R (^) uniform in het interval 0 < w < 1 
kon vergeert. Daar voor R {^)f> R (c) de integraal 
1 
— u) (I — du 
o 
absoluut konvergeert (wegens de kontinuiteit van g{'\ — w)), kan men 
na de bedoelde substitutie term voor term integreren, en vindt dan 
(in de afzonderlike integralen weer 1 — u door t vervangende) 
1 00 1 
tx—c—1 dt — 'yin (—1)™ J^l — 1 g 
(17) 
0 0 0 
De ontwikkeling is dus geldig voor R(a;) ]> R(li) j> R(c). Daar het 
produkt van deze reeks met .v — c tot een reeks naar dezelfde 
fakulteiten van .v — kan worden herleid, is de verlangde stelling 
hiermee opnieuw aangetoond. ^) 
Een derde bewijs heeft nog dit interessante dat het doet zien dat, 
als de integraal slechts bestaat voor x = c, ook ontwikkeling naar 
fakulteiten van x — c mogelik is, zelfs al zou de lijn R{x) = R{c) 
de grens van het kon- en divergentiegebied van de integraal in het 
.r-vlak zijn, en al zou de integraal volstrekt niet in alle punten van 
die lijn bestaan. Het bewijs bestaat hierin dat we het proses, dat 
tot de stelling van Lerch gevoerd heeft, tot in het oneindige voort- 
zetten ; we stellen 
o o 
Formule (10) laat zich dan veralgemenen tot 
a{x) = g{\) — (l)(.r-c) + ~ ^ 3 ^ ) 
1 • 09 ) 
+ (- 1)”-^ 9n-\ (1) + (~1)" ^ ‘’j J" {t) dt . . . . I 
0 ' 
De restterm nadert tot nul voor R{x) f> R{c), want men heeft 
1) Men vindt bij Nielsen (1. c. p. 125) een dergelijk bewijs van de hier bedoelde 
ontwikkelbaarheid; dit sluit echter niet aan bij de sekundaire integraal in het 
rechterlid van (5), maar bij de oorspronkelike, zodat hierbij nodig is te onderstellen 
dat ook deze absoluut konvergeert voor limt = 0. Van deze spesiale onderstelling 
bevrijdt men zich juist door de herleiding (5). 
