22 
achtereenvolgens, als G de maksimummodulus van de geborneerde 
fnnksie g {t) in het interval (0,1) is, 
\gAt)\<Gt \gAt)\<:Gt\... 1 ^«(0 |< Gtn, . . . 
dus 
1 
1 
1 f* * 
1 f’i (i) dt 
= n j. (q 
\ ^ 
0 
1 
0 
1 
<„ƒ, 
QlR {x-c)-\ dt 
< 
iG 
R (x — c) 
, voor R {x — c) 0. 
/a’ — c\ . — R{x—c)—l 
Nu isl Ivoor n=cc equivalent met n 
restmodulus in formule (19) voor alle n kleiner dan 
H {x — c) 
R [x — c) c) ’ 
en dus de 
( 20 ) 
waarin H zeker pozitief getal is groter dan G. Voor R{x)A>R{c) 
nadert dus de restterm met onbepaald toenemende n tot nul. Zelfs 
toont de majorantwaarde (20) aan dat op een oneindig lijnsegment, 
uitgaande van x = c en met de richting van het pozitieve deel van 
de reele as, de binomiaalreeks uniform konvergeert; want hierop 
is R {x — c) = X — c. PiNCHERLE heeft (l.c.) opgemerkt dat een derge- 
lijke uitspraak, die analoog is aan een bekende stelling van Abel 
over machtreeksen, voor de integraal (1) geldt en dat die volgt uit 
de, door partiele integratie, ontstane vergelijking (5). Evenzo kan 
men, door partiele sommatie, bewijzen dat de hiergenoemde stelling 
algemeen geldt zoowel voor reeksen die naar fakulteiten voort- 
lopen (de hier besproken binomiaalkoeffisientenreeksen) als voor de 
fakulteitreeksen in engere zin (die voortlopen naar omgekeerde fakul- 
teiten). Voor de laatstgenoemde heb ik dat in een mededeling over 
deze reeksen nader aangewezen ^). De ontwikkeling van de integraal 
(1), in een dergelijke fakulteitreeks is evenwel, zoals uit onderzoekin- 
gen van Nielsen ’) en van Pincherle ') volgt, slechts mogelik onder 
nader beperkende voorwaarden voor f[t), nl. als dit een analitiese 
funksie is waarvan de konvergentiesirkel voor het punt t = l door 
t = 0 gaat, en die op de omtrok van deze sirkel van eindige orde 
(in de zin van Hadamard) is. 
q Verslag van 3 Mei 1919. 
q Handbuch, p. 244. 
*) 8ulla sviluppabilitd di una funzione in serie di fattorali, Rendic. d. R. 
Acc. d. Lincei 1903 (2e Semestre). 
