128 
4. Opmerkingen. Bij bet boven gegeven bewijs der differen- 
tieerbaarheid van de functie cp {x) = {x) u^{x) . voor x = p 
is slechts van de continuïteit der functies u\ (x), u\ (xj, enz. voor 
X — p gebruik gemaakt, zoodai continuïteit in een interval niet be- 
hoefde te wOrden ondersteld. Ook behoefde de integreerbaarheid der 
functies u\ {x), u\ {x), enz. niet te worden aangenomen, zoodat liet 
gewone bewijs (door de reeks u\ (.'») -1- u\ (a;) -j- . . . . term voor term 
te integreeren) op de algemeenere formuleering, zooals die in N*. 1 
gegeven is, niet van toepassing is. 
5. Neemt men het convergeeren der reeks u^{x) u.fic) 
in het geheele interval ^ in het onderstelde op, dan kan men voor 
het bewijs van het gestelde ^ met de semi-gelijkmatige convergentie 
(enkelvoudige gelijkmatige convergentie van Dini) der reeks -f- 
u' fx) -["■••• in het interval i volstaan. Die semi-gelijkmatige con- 
vergentie is nl. eerstens voldoende om tot de continuïteit van if'(a') 
voor x=: p {Q kunnen besluiten. Verder levert de bepaling der getallen 
iV, en xV, geen bezwaar, waarna men aan n een zoodanige waarde 
O iV, en ^ iVj kan toekennen, dat voor iedere x uit het interval i 
geldt I (xj j X Of deze ongelijkheid ook voor iedere grootere 
waarde van n geldt, is daarbij onverschillig. 
Door Dint is in zijn Teorica delle funzioni di variabili reali dooreen 
gecompliceerdere omvorming van het differentiequotiënt het bewijs 
van geleverd zonder het onderstelde d, daarbij de convergentie 
der reeks ïi, (x) -f- M j (.v) 4”- ■ • interval i aannemend. 
6 . Bij het bewijs der differentieerbaarheid van tf{x) behoefde de 
absolute convergentie der reeks u' jx) -j- u\{x) niet te worden 
ondersteld. Door aan te nemen, dat [w'„(x)| is (c,, onafhankelijk 
van x) en de reeks c^ c.^ . convergeert (hetgeen gelijkmatige 
absolute convergentie der reeks rijx) -j- u'fv) insluit) heeft 
PoRTER (Ann. of Math. sei'. 2, vol. ,3, 1901, p. 19) op zeer eenvou- 
dige wijze de differentieerbaarheid van q (x) voor x = p aangetoond 
zonder iets omtrent continuïteit der functies u'n{x) te onderstellen, nl. 
door gebruik te maken van : 
^pip-hh) — (f{p) 
— rp(p) 
b'n (P ^h) — Un (p) 
h 
+ uj (p - 4 - h) ~ 2 U j (p). 
»+l 
«+1 
h 
(p) + 
