185 
hankelijk is van het feit dat wij weten dat een interval tevoren 
door is voorafgegaan. 
In den regel zal dit bij willekeurige keuze van Si idet het geval 
zijn; wij kunnen dit zoo uitdrukken; de integraalvergelijking (3) zal 
gelden, indien een interval zoodanig gekozen kan worden dat van 
de correlatie der y waarden aan het begin- en eindpunt van het 
interval kan worden afgezien. Hoe sneller het ditferentiaalquotient 
der kromme wisselt, voor des te kleiner intervallen zal de integraal- 
vergelijking gelden. *) 
Het verdient opmerking, dat de integraalvergelijkingen (2) en (3) 
groote overeenkomst met de beide som vergelijkingen vertonnen 
waaraan de analoge kansen voor getallenreeksen voldoen. ”) 
Wordt het interval » oneindig groot genomen, dan kan men nagaan 
waartoe W{y^,y,i) nadert. Het ligt voor de hand te onderstellen 
dat deze grootheid niet van afhangt. Voert men deze onderstelling 
in, dan volgt uit (2) dat W (y,, y, oc) tot W {y^ nadert. 
Het is niet moeielijk een voorbeeld te construeeren van een functie 
W {y^, y, i), die ten eerste voor ^ = 0 alleen bij y = y^ een van nul 
verschillende waarde bezit (een ,,Zacke” vertoont); die ten tweede 
onafhankelijk van % een W (y) levert, die ten derde voor g = oo in 
deze W iy) overgaat en die tenslotte niet aan de integraalvergelijking 
voldoet. 
Een dergelijke functie is bijv.: 
^ {y, y^) = 
(■V-yo'KO 
. ƒ(?} 
waarin ƒ en il? functies van | zijn. Integreert men naar y van — oo 
tot 00 , zoo verkrijgt men gelijk behooi t één. Opdat aan (2) vol- 
daan is, is het noodig dat ƒ(§)-{- (0 = 1. Verder moet ƒ (0) = 0, 
ƒ ( oo) = 1 en dus if? (0) = 1 en ( oo) = 0 zijn. 
De functie voldoet aan de integraalvergelijking wanneer wij 
ip(£) = nemen, waarbij een willekeurige positieve constante is. ’) 
Wij zullen nu uit de integraalvergelijking voor W(y^,y^) een 
differentiaalvergelijking afleiden. Dit zal mogelijk zijn als wij omtrent 
W (y, y §) voor § = 0 de onderstelling mogen invoeren, dat het gebied 
der waarden van y^ — y^, waarvoor W (y,, y^ $) van nul verschilt, met § 
tot nul nadert. Of scherper, dat er als 
§ < « 
b Bij vele in de natuur voorkomende gevallen is aan deze voorwaarde bij 
benadering reeds voor kleine (tijds)intervallen voldaan. 
b Vergelijk onze mededeeling deze Versl. Deel XVll, 1919, p. 1146. 
b Zij gaat dan over in een functie die door Smoluchowski bij de theorie der 
Brownsche beweging is beschouwd. 
