202 
een Z?^-veld gegeven door het p-vektorveld der eenvoudige /^-vektoren ') 
yV. Eenig stelsel van op pY volkomen loodrechte eenvoudige (n — p)- 
vektoren „_/,w bepaalt dan een iK„_^ veld. Is het veld „_pW overal 
volkomen loodrecht op een stelsel van oo”“9' uitgebreidheden 
dan ligt de Z?y-richting van Vq in elk punt in het gebied van ^v. 
In het geval, dat niet ook nog loodrecht is op een stelsel van 
(^n—q-i uitgebreidheden noemen wij dan Vq-normaal 
en pY V q-vorm.end. 
Is pY = Vj .77. V;), dan is pY F^-vormend, indien de p vergelijkingen : 
V.- V/=0 , ^=:l (4) 
n — q onafhankelijke oplossingen toelaten. Deze voorwaarde is ook 
voldoende, aangezien de Vq altijd gegeven kunnen worden als door- 
sneden van n — q stelsels Fn— i : = c^, . . . . , fn-q = c„—q, waarin 
Cl, ... , c„-q veranderlijke parameters zijn. Daar in een R„ een R„—p^a 
alleen voor « = 0 volkomen loodrecht kan staan op een Rp, is 
noodzakelijk q ^ p. Iedere oplossing fk voldoet ook aan de verge- 
lijking: 
{\j • V) (v,- . V) A-=(vj 1 7 vO . V A 4- V, \j ? V V A = 0, (5) 
en derhalve ook aan; 
(v.;- 1 V V.- - v.' 1 V vA . V A = 0 (6) 
Wij beschouwen eerst het geval q = p. (In dit geval is het stelsel 
differentiaalvergelijkingen (4) een volledig systeem.) Schrijven wij: 
n — Wi • . . W,i — p , 
dan leert (6), dat alle vektoren Yj^. V v,- — vA 7 in het gebied 
van pY liggen, wat ook aldus kan worden geschreven: 
J ' 1 1 • • I 
7 M — V.4 7 V.;) . WA; = 0 ’ ’ ’ ... (7) 
« = 1 , . . . , ra — p 
Ware aan (7) voor enkele waarden van i en j niet voldaan, dan 
zouden er zeker minder dan n — p onafhankelijke oplossingen zijn, 
daar men de vergelijkingen (6) voor die waarden van i en j aan 
(4) zou kunnen toevoegen. Aldus zou men een stelsel van r verge- 
lijkingen verkrijgen p, waaraan alle oplossingen van (4) 
moeten voldoen Dit stelsel heeft dan echter zeker meer dan n — r 
onafhankelijke oplossingen. De voorwaarde (7) is dus noodzakelijk 
en voldoende. 
h Een eenvoudige p-vektoi' kan worden geschreven als alterneerend produkt van 
p reale vektoren en kan worden voorgesteld door een deel van een bepaalde Bp, 
met een bepaalden inhoud, doch van onbepaalden vorm, gecombineerd met een 
hyperschroefzin. 
