205 
of : 
(V ^ ’g)'. i = Jtfi i„, (21) 
daar : 
’g!i = i (22) 
Uit (21) volgt : 
in (V -- in - * *g)-i 1 in = o, ..... (23) 
of, indien X/* de kovariante coördinaten van V w i„ zijn en inx de 
kovariante coördinaten van i„, in coördinaten : 
ö *n aj ^n o 
^ n 
ai 
X 
«1 «1 
^ 9a\ Oi 
Xfl a 
I 1 
0 . (24) 
*'n o Xfl a ^ ffa o, • • • • Xa o ^ ffa a 
n n 1 n 1 n n n n 
Deze vergelijking van den graad n — 1 in A noemt Ricci de alge- 
braïsche karakteristieke vergelijking der congruentie i„. Daar de 
(ensor ^h, zooals bekend is, n — 1 reëele hoofdrichtingen heeft, 
heeft zij n — 1 reëele wortels. ’) Zijn alle wortels verschillend 
(d.w.z. zijn niet twee wortels in alle punten van Vn gelijk, hetgeen 
niet uitsluit, dat zij in bepaalde uitgebreidheden van minder dan n 
afmetingen gelijk kunnen worden), dan behoort volgens (21) bij 
een bepaalde wortel Xj de richting : 
A, ’g)-iii„ (25) 
Twee bij verschillende wortels behoorende richtingen zijn onderling 
loodrecht, omdat volgens (20): 
Xj ij . i;i; = ijt 1 (V ^ i„) 1 ij = Xjeh Aj = 0, j jé: k . . (26) 
Een p-voudige wortel bepaalt een gebied volkomen loodrecht 
op de gebieden der andere wortels, in welk gebied p willekeurige 
onderling loodrechte richtingen als hoofd richtingen gekozen kunnen 
worden. 
In elk geval kan men dus bij de gegeven richting i„ in ieder punt 
n — 1 onderling loodrechte hoofdrichtingen aanwijzen, ivaardoor aan 
de congruentie in n — 1 onderling loodrechte congruenties ij, j =1,2, 
. . . , n — 1 worden toegevoegd. Ricci noemt deze de tot i„ behoorende 
orthogonale kanonische C07igruenties. ‘) 
0 G. Ricci. Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varieta qualunque, 
Memorie R. Acc. Lincei Ser. V 2 (95) 276 — 322, bldz. 301. 
*) Voor een rechtstreeksch bewijs zie b.v. G. Ricci, Sui sistemi di integrali 
independenti di una equatione lineare ed omogenea a derivate partiali diDordine, 
Ann. di Mat. Ser. II 15 (W/ss) 127—159, bldz. 134. 
®) Ricci. Dei sistemi, bldz. 302. Wij spreken hier kortheidshalve van kanonische 
congruenties. 
