211 
De beide voorwaarden (C) en {D) zijn behalve noodzakelijk ook 
voldoende. Immers, nit {€) of (C")> ^'6 volkomen aequivalent zijn 
volgt (56), terwijl uit (30) verg. (54) volgt. Vergelijking van (54) en 
(56) geeft (55). üit (D) volgt na vergelijking met de nit (30) volgende 
vergelijking (65) vergelijking (67). Doch (55) en (67) toonen aan, dat 
de congruentie tj F),_i-normaal is. 
Wij hebben dus ten slotte het resultaat: 
Opdat door de congruentie \n, waarvan de hijbeho o rende algebraïsche 
karahteristieke vergelijking slechts ongelijke wortels heeft, n — 1 onderling 
orthogonale k^n—i 9^l<^9(l kunnen ivorden, is het noodzakelijk en vol- 
doende, dat i,j voldoet aan de voorwaarden (C) en {D). ') 
Het aantal der vergelijkingen (6’) is ^ ^ het aantal der 
vergelijkingen [D] is, in verband met het feit, dat men j en k mag 
verwisselen, zonder dat een nieuwe vergelijking ontstaat, j en / 
echter niet, ’) Als differentiaalvergelijkingen in de 
kentallen van in zijn beide stelsels {O en (D) van de tweede orde. 
6. Vereenvoudigingen voor het geval, dat de gegeven congruentie 
Vn—i-normaal is. Is i„ F),_i-normaal, dan wordt jlizrzO, wordt 
de eerste en de tweede fundamentaaltensor der V„—i ± in- Zijn 
hoofdrichtingen bepalen de kromterichtingen. (61) gaat over in: 
g!,2^2r(7-i„)MVi„) = 2’hi»h + xu„Un,. . . (69) 
en (62) in : 
’p = g„2(i„.v)*h-2*hi^h ..... (70) 
{€) gaat over in : 
ij iic ? {in . V) ’h = 0, 
(Q 
en verkrijgt daarmede dezelfde gedaante als (D). 
Op analoge wijze als bij (68) blijkt : 
ij ijt 2 (in • V) ’h = (in . V) (ij i/C 2 *h) (71) 
1) (C') is het eerst door Ricci afgeleid, Dei sistemi, vergel. (A), bldz. 309. (D) 
komt bij hem voor in den minder eenvoudigen vorm; 
ij hiO.VfJ^ y = Uv • Un) ij i/ 2 V in + è (ij . u,,) V V (D') 
als vergelijking (B), bldz. 309. (D') ontstaat, wanneer de bewerking (i/ . V) toege- 
past wordt op (31). (C) en (D) zijn gevolgtrekkingen uit (30), (C') en (D') uit (31). 
Hier hebben wij eerst {C') afgeleid, omdat de voorwaarde in dezen vorm identiek 
is met de voorwaarde, die voor is gegeven door Lilienthal, en die voor 
het probleem zeer belangrijk is, zooals in het tweede gedeelte van deze verhandeling 
zal blijken. 
-) G. Ricci, Sui sistemi, bldz. 152. 
