212 
zoodat ook de hoofdrichtingen van >{(i„ . V) ’li eenduidig zijn bepaald. 
In verband met de reeds gevonden meetkundige interpretatie van 
{D) hebben wij dus het volgende theorema verkregen. 
I. Een stelsel van oc^ F„_i in een F„, waarvan de tweede funda- 
mentaaltensor ’h, behalve op bepaalde Fr, ^ ^ — 1 eenduidig 
bepaalde hoofdrichtingen heeft, behoort dan en dan alleen tot een 
n-voudig orthogonaalstelsel, indien bij een verplaatsing loodrecht op m 
der hoojdrichtingen de komponente van de geodetische differentiaal 
van ’h in de door deze m richtingen bepaalde Rm hoofdrichtingen 
heeft, die met de genoemde m hoofdrichtingen van ’h samenvallen. 
Dit theorema is voor een stelsel F, in de Zf, uitgesproken door 
Maurice Levy ^). 
Zijn de hoofdrichtingen van ’h voor een zeker punt P niet een- 
duidig bepaald, dan volgt uit (68), dat dan de hoofdrichtingen van 
it{in . V) ’h, en dientengevolge die van ’h, voor alle punten van een 
kromme der congruentie in door F op dezelfde wijze onbepaald zijn. 
Hieruit blijkt de stelling; 
II. Bij een stelsel van oo^ F„_i in een Vn, dat tot een n-voudig 
orthogonaal stelsel behoort, liggen de punten, waar alle of enkele 
kromtelijnen geen eenduidig bepaalde richting hebben [umbilicaal punten 
in ruimeren zin) op meetkundige plaatsen, die gevormd worden door 
krommen der congruentie, loodrecht op de F),— i- 
Ook deze stelling is voor een stelsel F, in de door M. Lévy 
het eerst uitgesproken.’) 
Daar de kentallen van uitgedrukt kunnen worden in de eerste 
ditferentiaalquotienten van den parameter, die het stelsel der F„_i 
bepaalt, worden de vergelijkingen (C) en (D) partiëele differentiaal- 
vergelijkingen van de derde orde in dezen parameter. 
b M. Lévy. Mémoire sur les coördonnées curvilignes orthogonales. Journal de 
l’Ecole Imp. Polytechnique 26 (70) 157 — 200, bldz. 159. 
®) M. Lévy. Mémoire etc. bldz. 174. 
Voor een kort overzicht over en een bespreking van de literatuur over deze 
differentiaalvergelijking van de derde orde bij een stelsel in de Bg (want hier 
vervalt (D) en reduceert het stelsel (C) zich tot één enkele vergelijking), zie 
Lucien Lévy, Sur les systèmes de surfaces triplement orthogonaux. Mém. cou- 
ronnés et Mém. des savants étrangers, Bruxelles 54 (96), 89 bldz., bldz. 5 en volgende. 
