263 
waarin de voortzetting der functie iV {z) over den omtrek van den 
convergentiecirkel ommogelijk is. 
In het volgende wil ik eène nieuwe asymptotische ontwikkeling 
afleiden, die past bij de onderstelling, dat z, zich bewegende langs 
een straal van den cirkel 12 ! =1, een rationaal punt op den cirkel- 
omtrek nadert. Buitendien zal liet onderzoek dienen om eenige 
uitkomsten toe te voegen aan die van Knopp aangaande de functie N (2). 
1. Als men aanneemt, dat p en q onderling ondeelbare geheele 
2nip 
getallen zijn. is 9 = een rationaal punt van de orde q 0 |) den 
cirkel \z\ =1, en als men neemt 0<^.r<^l, heeft men 
li=q-l n=cc .^”9+^ öV 
N (.'« 8i') = S h 
nq 
4- 
^ b 
nq-\-h 
„=1 1 — ' h=:l „=0 1— 
Nu heeft men blijkbaar 
qx'"f' ,v‘"l 
h=q—l ^^nq ffli/i 
eii 
h=q - 1 ^jh/i 
„f. = 
derlialve verkrijgt men 
n= co X^‘'/" b h—q — 1 
JSixOP) — 9 U bnq + (?— 1) = -S" Uk {x,p), 
n=\ l — x^r 2 k=\ 
waar de coëfficiënt è, willekeurig gekozen is en waar 
xnq+h Qhp x'‘9 S^P } 
Uk{x,p)= JS 
n— 0 
1 — Oh 
■'nq 
1 — x^^^dh 
(1 
( 2 ) 
is. Het rechterlid kan worden vervormd, en men kan ook schrijven 
n= 00 Oh \ 
Uk {x.p) = — {\—xh 2 bnq-i^h - + j 
/<= 00 
d- ^ {bnq-\-h ^nq) 
n=0 
»=0 (1 — 6>^P) { 1 — .r"9 Oh) 
xm Oh 
(3) 
1 — Oh j 
In het bijzonder vindt men door h„ = 1 en ook è, = 1 te nemen 
voor de functie van Lambert 
L{xOp) - (^L{x<i^) + è (9—1) = i Th (^,p), 
h=\ 
(4) 
waar 
ti= 00 J Qhp 
Th {x, p) = ^ 
«"9 Oh 
— (1— ./A) ^ 
W=0 ( 1 — .r"9d-^ 0^'p 1 — x'^Q Oh i 
^«9 0>ip 
n=0 (1— ir”9d-^ Oh) (1 — .r"9 0^'P) 
( 5 ) 
