Wiskunde. — De Heer Jan de Vries biedt een mededeeiing aan 
over: ,,[nvoluties in het cirkeJveld'’. 
1. In een vlak zijn drie cirkelbundels (<«), (7) gegeven; in elk 
van hen zijn de cirkels in de paren enz. van een involutie 
gerangschikt. Zij de cirkel, die de cirkels «j, 7^ loodrecht snijdt, 
de orthogonaalcirkel der overeenkomstige cirkels a^, dan 
zijn dj en d^ aan elkaar toegevoegd in een involutorische verimnt- 
schap in het cirkel veld. 
Daar tweemaal met samenvalt, | 3 j tweemaal met en 7, 
tweemaal met 7,, heeft de invohitie (cfj, d,) acht coincidenties. 
In hel algemeen wordt een willekeurig aangenomen cirkel 
slechts door één cirkel a loodrecht gesneden. Behoort evenwel 
tot den orthogonaalbundel van (0), dan is dus ook een wille- 
keurige cirkel van («), terwijl en y, volkomen bepaald zijn. Met 
d, komt in dat geval overeen elke cirkel d,, die en 7, lood- 
recht snijdt. 
De orthogonaalbimdels («'), (^'), (7') van (u), f/J), (7) bestaan dus uit 
singuliere cirkels, d. w. z. cirkels, die in de involutie telkens aan 
oneindig vele cirkels zijn toegevoegd. 
Nog op een andere wijs kan d, singulier zijn. Op een cirkel a 
bepalen de bundels [d) en (7) twee involuties; daar deze één paar 
gemeen hebben, liggen op « de twee snijpunten van een met een 7. 
Elke cirkel « (of of 7) behoort dus tot een drietal die 
in een bundel liggen, waarvoor dus de orthogonaalcirkel onbe- 
paald wordt. De cirkel ci\, die de overeenkomstige cirkels «1, ft, 7i 
loodrecht snijdt, is dus singulier en toegevoegd aan eiken cirkel van 
een bepaalden bundel. 
2 . Een nader onderzoek van de involutie (ft, ft) wordt betrekke- 
lijk eenvoudig, wanneer wij gebruik maken van een af beelding van 
het cirkelveld op de puntenruimte, waarop in 1917 de aandacht 
werd gevestigd door Dr. K. W. Walstra ^). 
Om tot deze afbeelding te geraken, nemen wij het vlak van het 
cirkelveld tot coordinaatvlak ^ = 0 en beschouwen als beeld van 
een cirkel het punt op zijn as, waarvan de coördinaat ^ gelijk is 
aan de macht van den oorsprong O t. o. v. den cirkel. De punt- 
Verslagen XXV, bl. 960. 
