271 
cirkels hebben hun beelden op een omwentelin^sparaboloïde G (grens- 
oppervlak) en de beelden van twee orthogonale cirkels worden door 
G harmonisch gescheiden. Twee wederkeerige poolrechten zijn de 
beelden van twee onderling orthogonale cirkelbnndels. 
De bundels («), (/3), (y) worden afgebeeld door drie op rechten 
a,b,c gelegen involuties B^), (6\, C'J. Het beeld D, van 
den cirkel tl,, die y, loodrecht snijdt, is de pool van het vlak 
B^ C,. Wij hebben dus nu te beschouwen een involutie (D,, Z),) 
in de puntenruirnte, die daardoor is gekenmerkt, dat de poolvlakken 
A, en A, van Z), en Z), de gegeven rechten a, b, c in de paren 
(.1,, HJ, (S,, Sj), (Cl, 6’J van drie gegeven involuties ontmoeten. 
3. Het is nu gemakkelijk, de singuliere elementen der cirkel- 
involutie terug te vinden. Vooreerst merken wij op, dat onbepaald 
wordt, zoodra A, door a gaat; voor A, kan men nu elk vlak nemen 
dat de punten B^ en 6’j bevat, dus voor D, elk punt der poollijn 
a', van de rechte a^ = B^C^. Laat men A, om a wentelen, dan 
doorloopt Z), de poolrechte a' van a, terwijl a, een quadrafische 
regelschaar beschrijft. De rechte a', doorloopt eveneens een quadra- 
tische regelschaar (a',)’, welke de poollijnen b' en c' van b en c 
tot richtlijnen heeft. Aan elk punt van a' is blijkbaar een bepaalde 
i-echte van (a',)’ toegewezen. Analoog behooren bij de singuliere 
rechten h' , c' de regelscharen {b\)A ic\y. 
In de tweede plaats wordt D, onbepaald zoodra Hj, B^ en C, 
collineair zijn, dus op een transversaal a' van a, b, c liggen. Laat 
men s de regelschaar doorloopen, die a, b, c tot richtlijnen heeft, dati 
beschrijven A^, B^ en Cj drie projectieve reeksen, zoodat A, een 
kubische ruimtekromme osculeert. Maar dan zal Z), tot meetkundige 
plaats hebben een kubische ruimtekromme o^, die de rechten a' , b' 
en c' tot bisecanten heeft. Aan elk punt *S= Z), der singuliere 
kromme o* is blijkbaar een i-echte s' toegewezen, nl. de poollijn der 
overeenkomstige rechte s. De rechten s' vormen een regelschaar 
met richtlijnen a',h',c'. 
4. Als Z), de rechte / beschrijft, wentelt A, om de poollijn l' , 
zoodat Hj, 5, en C, projectieve reeksen doorloopen. Ook A^, B^, C\ 
beschrijven dan projectieve reeksen; A, osculeert dus een kubische 
kromme, en doorloopt een kubische kromme welke a\ b' 
en c' tot bisecanten heeft. Bijgevolg zijn Z), en Z), aan elkaar toe- 
gevoegd in een kuhiscke verwantschap. 
Daar / twee punten met {s'Y gemeen heeft, rust B in twee punten 
op u’. De stralenruimte wordt dus omgezet in het viervoudig on- 
eindig stelsel der kubische ruimtekrommen, die elke der lijnen a' , 
b' , c' en o* tweemaal snijden. 
