272 
Een vlak <2» wordt omgezet in een kubisch oppervlak «l»’, dat 
door a' , h' , c' en gaat. De beelden van twee vlakken hebben 
deze vier lijnen en het beeld van van hun snijlijn I gemeen. 
5. Een raakvlak aan het grensoppervlak G is het beeld van de 
cirkels, die door een gegeven punt gaan. Voor de involutie (dj, d,) 
geldt dus (§ 4) de eigenschap : Een cirkelbunclel ivordt omgezet in 
een stelsel van cirkels met index drie. 
Dit stelsel bevat zes puntcirkels en drie rechten. De singuliere 
cirkels vormen drie bundels (§ 1) en een stelsel met index drie (§ 3). 
Aan eiken singulieren cirkel is een cirkelbundel toegewezen ; deze 
bundels vormen vier stelsels. 
Het beeld van een cirkelbundel bevat acht singuliere cirkels. 
6. Blijkbaar stelt de afbeelding van het cirkelveld op de punten- 
ruimte ons in staat, uit elke involutie in de laatste een involutie in het 
cirkelveld af te leiden en omgekeerd. 
Een bijzonder eenvoudige involutie wordt ais volgt verkregen. Op 
eiken straal li, die OZ loodrecht snijdt, bepaalt de paraboloïde G 
een involutie van paren toegevoegde punten {P,P'). In het cirkelveld 
komt hiermee overeen de vei wantschap, waarin aan elkaar zijn 
toegevoegd twee cirkels, die elkaar loodrecht snijden en in een vast 
punt O dezelfde macht hebben. 
Het aan gekoppelde punt P' is het snijpunt van den straal h 
met het poolvlak n van P. Ligt P op OZ, dan kan men voor A elke 
rechte nemen die OZ in P loodrecht snijdt. Daar jt nu loodrecht 
op OZ is, zal aan P toegevoegd zijn elk punt van de oneindig verre 
rechte van 2 : = 0. 
Een punt van G ligt in zijn poolvlak, is dus coïncidentie der ver- 
wantschap. Komt P in den top O of in het oneindig verre punt 
van OZ, dan wordt P' een willekeurig punt van 2 = 0 of van 2 r = 00 . 
Als P een rechte / doorloopt, beschrijft h een regelschaar pL jt 
een daarmee projectieven vlakkenbundel; de meetkundige plaats van 
P' is dus een kubische kromme P. De poollijn 1' van / ontmoet p’ 
in twee punten P' ■, elk vlak door l' bevat, behalve die twee punten, 
nog een buiten 1' gelegen punt P' . Dus is l' koorde van P. Ook I 
is koorde, want haar snijpunten met G zijn coïncidenties. 
7. Met de punten P van een vlak W komen de punten P' van 
een kubisch oppervlak •/’’ overeen. Twee dergelijke oppervlakken 
hebben vooreerst de kromme P gemeen, welke het beeld is van de 
snijlijn der overeenkomstige vlakken. Om een goed inzicht te ver- 
krijgen in de beteekenis van de figuur welke zij bovendien gemeen 
hebben, merken wij op, dat de involutie {P,P') een bijzonder geval 
is \an de volgende verwantschap. 
