277 
r(^) 
I\t r(p (<)] 
r (x — r) 
Het is geiiiakkelik in tè zien dat de laatste gelijkheid ook voor 
negatieve gehele waarden van geldt. Het merkwaardige is echter dat 
dit ook nog het geval is voor negatieve en onmeetbare waarden. 
Hiervan heb ik gebruik gemaakt bij het onderzoek van een funksie 
-1 
die door een binomiaal reeks üc,; 
wordt voorgesteld welke 
reeks de meest tipiese is, waarin een koeffisientfunksie ontwikkeld 
kan worden. Het doel van deze noot is, om van de hier uitgesproken 
bewering het bewijs te leveren. 
2. We stellen r— — a eti vervangen, om voortdurend met 
funksies te doen te hebben die regulier zijn voor /=go. (p{t) door 
[t — 1)“. Als definitie van de afgeleide van negatieve orde — « 
nemen we, in aansluiting met die van Rikmann ’), de volgende aan : 
( — 1)“ D-=' 
y (^) 
I r (a -<)«-! (f) (m) 
r{a)J 
du 
(5) 
t 
Daarbij denken we als integratieweg de halfrechte die in het 
verlengde ligt van de lijn gaande van u = l naar u = t; en aan 
u — t en u — I kennen we hetzelfde argument toe, gelegen tussen 
— jr -|- f) en + — ö. Dan is deze funksie, evenals {t) zelf, 
regulier buiten de sirkel (1,1) en nul voor if = co ; en door de sub- 
stitutie u — 1 = — 1):6‘ vindt men na een kleine herleiding de 
reeksontwikkeling 
(_ 1). D-. jAI = V., C..+1K ^ 
. ( 6 ) 
o 
die dus in een zeer eenvoudig verband staat met de ontwikkeling 
voor tp {t) zelf. 
De orde van deze afgeleide is, zoals uit deze reeks oïimiddellik 
blijkt, a minder dan die van (p {t) en dus negatief, als deze laatste 
het is. In deze onderstelling kan men er de operatie / in de vorm 
(2) op loepassen, zodat alvast van het eerste lid van de te bewijzen 
gelijkheid 
I 
{-\YD 
(«-!)« 
j r 
(7) 
’) Deze Verslagen, Dl XXVII, 1919. Nieuw Archief v. Wisk. XllI, 2e stuk (1920). 
-) Zie Borel, Lecons sur les series d termes positifs, p. 74. De konstante a 
is hier gelijk aan oo genomen, in verband met de regulariteit van ^ voor ^ — oo . 
