305 
Bewijs; Geheel als ’t vorige. 
^ 5. Ontbinding der priemgetallen in priemidealen van ’t deellichaam k. 
Door BachmAnn ’) is de ontbinding behandeld der priemgetallen in 
een deellichaam van een lichaam van Galois. Deze beschouwingen 
zijn hier dus direct van toepassing. Ze worden iets vereenvoudigd 
omdat we hier te doen hebben met een lichaam van Abei., zoodat 
de substituties de commutatieve eigenschap hebben. 
Theorema 6. Is p een niet in ni opgaand priemgetal en ƒ de 
kleinste exponent, waarvoor pf=l {mod m). Dan is p in k gelijk 
ed 
aan ’t product van — verschillende priemidealen van den graad 
r 
./ 
d 
Daarbij is ef=ip. 
Bewijs: De door Bachmann op bl. 489 bepaalde groep, die g en 
gemeen hebben, wordt hier de groep die g en g^ gemeen 
hebben. Deze is bepaald in ^ 2, 3. In ’t complex (42) van B. komen 
rf 
dus, voor iedere substitutie s, d gelijke voor. Dus — verschillende. 
Daar G uit ef substituties beslaat, moet men — complexen (42) nemen. 
‘ r 
êd 
Het getal e van B. is dus hier — en de getalleri A, zijn hier alle 
gelijk aan d. Verder is op bladz. 494 SigtSi~‘^ hier gelijk aan gt, 
zoodat we nog de gemeenschappelijke ondergroep moeten bepalen 
van de traagheidsgroepen g. Volgens theorema 1 zijn dus alle getallen 
t^ van B. hier —1. Ook rt=l, zoodat de getallen t/, van B. hier 
ook = 1 zijn. Uit ’t theorema dat B. op bl. 495 geeft, volgt nu 
hetgeen te bewijzen was. 
Theorema 7. 
Zij een oneven priemgetal dat in m opgaat en /, de kleinste 
exponent, waarvoor //“= l( mod —j— J en y ( -y- 1= . Dati is /, in k 
m 
m 
r 
jh, 
j_ i., U-.I. 1 j, , 
d\ 
verschillende 
gelijk aan de — de macht van het product van 
r 
priemidealen van den graad — . leder zoo’n priemideaal is gelijk aan de 
r/,-de macht van ’t product van — p verschillende priemidealen van K. 
d^d j 
Is A» ^ 3 dan is het priemgetal 2 in k gelijk aan de qp^i^-de macht, 
b Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper, bl, 495 
