Wiskunde. — De Heer Buouvvkr biedt een mededeeling aan van 
den Heer J. Wolff: „Eenige toepassingen van de quasi- 
unifornie convergentie op reeksen van reëele en van holoniorfe 
functies" . 
(Mede aangeboden door den Heer J. G. Kluyvee). 
Wij beschouwen een gebied G van het complexe vlak, en een 
rij van functies die alle analytisch in G zijn. Con- 
vergeert de rij gelijkmatig in ieder afgesloten gebied binnen G, dan 
is de grensfnnctie ƒ analy tisch in G. Deze stelling van Wkikrstuass 
is echter in den laatsten tijd aanmerkelijk nitgebreid. Weet men dat 
de rij convergeert in een punt verzameling met een inwendig punt 
van G tot verdichtingspunt, en tevens dat zij in ieder afgesloten 
gebied binnen G gelijkmatig begrensd is, reeds dan kan men besluiten 
tot de gelijkniatige convergentie in ieder afgesloten gebied binnen G, 
dus tot het analytisch zijn van de grensfnnctie ƒ* *). Zelfs kan men 
hetzelfde besluiten als G een cirkel is en men slechts onderstelt de 
gelijkmatige begrensdheid van de fnnctierij in (r en haar convergentie 
00 
in de punten z^, z„ . . met 77 (zk— z^) — 0, waarin z^ liet rniddel- 
1 
punt van G is en ZkT^z^*)-, eveneens als men slechts aanneemt dat 
er twee vaste getallen a en 6 bestaan, zoodat nergens binnen 6^ een 
van die beide waarden door een functie van de rij wordt aangenomen, 
en dat de rij convergeert in een puntverzaraeling met een inwendig 
punt van G tot verdichtingspunt’). Al deze stellingen voeien tot geen 
andere functierijen, dan die welke reeds door Weierstkass’ stelling 
omvat worden. Men zou zich dus de vraag kunnen stellen of een rij 
van functies, die alle analytisch zijn in een gebied G, convergeeren 
kan tot een in G analytische functie, zonder dat deze convergentie 
gelijkmatig is in ieder afgesloten gebied binnen G. Dat er zulke rijen 
bestaan bewijst een door Montel gegeven voorbeeld, dat ten doel 
had, de meening van Pompi<;ju te weerleggen, als zou voor het 
h G. ViTALi. Arrnali di Matematica, Serie 3a-, tomo 10 (1904), bl. 65. 
Voor een eenvoudig bewijs zie b.v. Verh. der Kon. Ak. v. W., deel 27 (1918), 
bl. 319. 
*) W. Blaschke. Leipz. Berichte, Band 67 (1915), bl. 194. 
*) C. Carathéodory en E. Landau. Sitz. Ber. Ak. v. W. Berlin, Band 32 
(1911), bl. 587. 
