342 
analytisch zijn van de grensfunctie ƒ van een convergente reeks van 
analytische functies in G noodig zijn dat de reeks termsgewijze mag 
worden geintegreerd langs lederen integratieweg binnen G^). Inderdaad 
convergeert de reeks van Montel in het geheele vlak tot nul, terwijl 
termsgewijze integratie latigs de reëele as van 0 lot 1 niet het bedrag 
nul, maar het bedrag 1 oplevert. Van gelijkmatige convergentie in 
ieder begrensd gebied kan hier dus geen sprake zijn. Merken we nog 
op dat Montel’s reeks voor ^ = 0evenmin terrasgewijze gedifferenti- 
eerd mag worden, daar men -1- oo in plaats van nul tot uitkomst 
zou ki'ijgen. Het voorbeeld van Montel wordt door geen enkele van 
bovengenoemde stellingen omvat. De vraag doet zich voor naar een 
noodige en voldoende voorwaarde waaronder een in G convergente 
rij van analytische functies een analytische grensfunctie / heeft. 
Noodig is dat de convei'gentie van de rij quasi-uniform is in ieder 
afgesloten gebied binnen G, wegens de continuïteit van en ƒ. Geeft 
men omgekeerd deze quasi-uniforme convergentie, dan volgt hieruit 
wel de continuïteit van / binnen G, niet echter het analytisch 
zijn van ƒ, hetgeen een voorbeeld van Montej, ’) aantoont. In het 
volgende zal o.a. een noodige en voldoende voorwaarde worden afgeleid. 
I. 
Wij beschouwen een rij van functies . . . alle continu 
in de rij convei-geert in 0 .r ^ a. Zij ƒ (a;) de grensfunctie. 
1. De functie = f^pc) — f^y) is bepaald op den rechthoek 
0 ^ .V ^ a, 0 P y ^ a en is daar continu. De functierij ^P,(x,y), * *PJx,y),... 
convergeert in ieder punt van den rechthoek waar niet tegelijkertijd 
.r ^ 0 en y = 0 of .i’ = 0 en y^O plaats heeft. De grensfunctie is 
fl*{x,y) = f{x) — ƒ(?/), in ieder punt, waar j> 0 en y ^ 0, en nul 
in X = 0, y = 0, omdat daar iedere <P,; = 0 is. Zij gegeven dat f{x) 
tot een eindige grenswaarde convergeert voor a* —>• 0. Wij beschouwen 
een puntverzameling PiG\,y^), Ptiy\,y^), . . . metO<^.r^^a, 
IimXj^ = 0, l/my^ = 0, en geven twee willekeurige positieve getallen 
k—m 
f en iSF. Zij N„ een willekeurig natuurlijk getal j> N, 
Men heeft </> y^(0,0) = 0. Wegens de continuïteit van kan men 
een getal d, bepalen zoodanig dat in ieder punt P^ waar x^ 
en t/jfc dl de ongelijkheid plaats heeft. 
Daar J-{x) voor .r-»ü tot een eindige limiet nadert, heeft men 
b P- Montel. Bul. des Sc. math., série 2, tome 30, dl. 1 (vol. 41, 1906, bl. 191). 
*) P. Montel, 1. c. bl. 190. 
, These bl. 98. 
